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$d\theta =-dx,$ et généralement

${\frac {1}{1.2.3\ldots i}}\int _{0}^{\infty }x^{i}f'xdx=q_{i},$

$i$ étant un nombre entier quelconque, on aura

$\int _{0}^{t}\Psi \theta f'(t-\theta )d\theta =q\Pi t-q_{1}{\frac {d\Pi t}{dt}}+q_{2}{\frac {d^{2}\Pi t}{dt^{2}}}-$ etc.

Par conséquent le second terme de la série $(e)$ sera

$a\nabla \Pi t,$

en faisant, pour abréger,

$q\Pi t-q_{1}{\frac {d\Pi t}{dt}}+q_{2}{\frac {d^{2}\Pi t}{dt^{2}}}-q_{3}{\frac {d^{3}\Pi t}{dt^{3}}}+{\text{etc}}.=\nabla \Pi t.$

Si l’on passe actuellement au troisième terme de cette série, on voit d’abord que $t$ ayant une valeur sensible, il faut qu’il en soit de même à l’égard de $\theta ,$ pour que $f'(t-\theta )$ ne soit pas nulle, et par suite à l’égard de $t',$ àfin que $f'(\theta -t')$ ne s’évanouisse pas. On aura donc, d’après l’équation que l’on vient de trouver,

$\int _{0}^{\theta }\Psi t'f'(\theta -t)dt'=\nabla \Pi \theta \,;$

et si l’on convient de désigner par $\nabla ^{2}\Pi t,$ ce que devient $\nabla \Pi t$ quand on y met $\nabla \Pi t$ à la place de $\Pi t,$ on en conclura

$\int _{0}^{t}\left(\int _{0}^{\theta }\Psi t'f'(\theta -t)dt'\right)f'(t-\theta )d\theta =\nabla ^{2}\Pi t\,;$