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pourvu que l’on quadruple le résultat de l’intégration ; faisant ensuite

$\operatorname {tang} .v=z,\qquad dv={\frac {dz}{1+z^{2}}},$

les limites relatives à la nouvelle variable seront $z=0$ et $z=\infty ,$ et l’on aura

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {\omega {\sqrt {\omega ^{2}+r^{2}}}dv}{\omega ^{2}+r^{2}\sin \sin ^{2}v}}=4\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega {\sqrt {\omega ^{2}+r^{2}}}dz}{\omega ^{2}+\left(\omega ^{2}+r^{2}\right)z^{2}}}=2\pi .$

Dans l’hypothèse d'une épaisseur infiniment petite, nous aurons donc

$\mathrm {X} =2\pi \left(\int \left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)+\left[{\frac {d\varphi }{dx}}\right]\right)\,;\qquad (c)$

et au moyen de ce résultat, nous pourrons, dans la même supposition, résoudre l’équation $(a)$ de la manière suivante.

(28) Faisant successivement, dans cette équation, $x=b$ et $x=-b,$ et les pronoms, la somme et la différence des résultats. Soit, pour abréger,

$\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)+\left[{\frac {d\varphi }{dx}}\right]=\psi t,\qquad \left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)-\left[{\frac {d\varphi }{dx}}\right]=\psi 't,$

et, en outre,

${\begin{aligned}&\int _{0}^{t}\left(\left({\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}\right)+\left[{\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}\right]\right)f'(t-\theta )d\theta =\Psi t,\\&\int _{0}^{t}\left(\left({\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}\right)-\left[{\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}\right]\right)f'(t-\theta )d\theta =\Psi 't,\end{aligned}}$

$\left({\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}\right)$ et $\left[{\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}\right]$ étant les valeurs ${\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}$ qui répondent à $x=b$