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en désignant par $\left({\frac {d\varphi '}{dx'}}\right)$ et $\left[{\frac {d\varphi '}{dx'}}\right]$ les valeurs de ${\frac {d\varphi '}{dx'}}$ dans lesquelles on fera, après les différentiations, $x'=b$ pour avoir ${\frac {d\varphi '}{dx'}},$ et $x'=-b$ pour obtenir $\left[{\frac {d\varphi '}{dx'}}\right].$

Si l’on substitue cette valeur de $\mathrm {Q}$ dans l’équation (14) et que l’on différentie ensuite par rapport à $x,$ sous les signes d’intégrations qui sont relatifs à $r',u'$ et $\theta ,$ on aura

${\frac {d\varphi }{dx}}+\int _{0}^{t}\left({\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}+k\mathrm {X} -{\frac {4\pi k}{3}}\,{\frac {d\varphi _{1}}{dx}}\right)f'(t-\theta )d\theta =0\,;\qquad (a)$

où l’on a fait, pour abréger.

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {X} &=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2}\left(f^{3}\left[b-x,r,r',\cos .(u-u')\right](b-x)\left({\frac {d\varphi '}{dx'}}\right)\right.\\&\left.+f^{3}\left[b+x,r,r',\cos .(u-u')\right](b+x)\left[{\frac {d\varphi '}{dx'}}\right]\right)r'dr'du'\,:\end{aligned}}\right\}(b)$

on se souviendra que cette quantité $\mathrm {X}$ devra répondre à $t=\theta ,$ aussi bien que $\mathrm {V} _{1}$ et $\varphi _{1}.$ À la limite où l’on suppose l’épaisseur de la plaque infiniment petite, $\mathrm {X}$ conserve une valeur finie que l’on peut déterminer, comme on va le voir, sans connaître celle de la fonction $\varphi .$

(27) En ayant égard aux facteurs $b-x$ et $b+x,$ compris sous le signe $\iint ,$ et qui sont infiniment petits dans cette hypothèse, il est évident que cette intégrale double $\mathrm {X}$ n’aura de valeurs finies que pour celles des variables $r'$ et $u'$ qui rendront infinie la fonction $f,$ c’est-à-dire, pour des valeurs de $r'$ et $u'$ infiniment peu différentes de $r$ et $u.$ Il suffira donc d’étendre les intégrations à des valeurs de $r'-r$ et $u'-u,$