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point quelconque $\mathrm {M}$ de la plaque, qui entre dans l’expression de la quantité $\mathrm {Q}$ (n^o 16), ne dépendra pas du temps $t,$ et la valeur de son carré sera

$\rho ^{2}=(x-x')^{2}+r^{2}-2rr'\cos .(u-u')+r^{'2}.$

Il s’agira, d’après cela, de former l’intégrale que $\mathrm {Q}$ représente, et de la substituer dans l’équation (14) ; mais auparavant nous conviendrons afin de simplifier les notations, de faire généralement :

$\left(\xi ^{2}+r^{2}+r^{'2}-2rr'\cos .v\right)^{-{\frac {1}{2}}}=f(\xi ,r,r',\cos .v),$

en sorte que $f$ indique une fonction indépendante du signe de $\xi ,$ symétrique par rapport à $r$ et $r',$ et dont la valeur sera toujours positive.

(26) Pour tous les points des deux bases de la plaque, on aura

$x'=\pm b,\quad \cos .s=\pm 1,\quad \cos .s'=0,\quad \cos .s''=0,\quad d\omega =r'dr'du'\,;$

les signes supérieurs ayant lieu pour la face supérieure, et les signes inférieurs pour la face inférieure. Pour chacune de ces deux surfaces planes et indéfinies, l’intégrale double devra être prise depuis $r'=0$ et $u'=0$ jusqu’à $r'=\infty$ et $u'=2\pi \,;$ et puisque l’on fait abstraction des bords de la plaque, la valeur de $\mathrm {Q}$ résultant de l’équation (13) sera

$\mathrm {Q} =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\left(f\left[b-x,r,r',\cos .(u-u')\right]\left({\frac {d\varphi '}{dx'}}\right)\right.$

$\left.-f\left[b+x,r,r',\cos .(u-u')\right]\left[{\frac {d\varphi '}{dx'}}\right]\right)r'dr'du',$