des corrections relatives, soit aux longueurs des aiguilles soit à leur action sur la sphère.
En désignant par
la demi-longueur de la première aiguille, et supposant qu’elle soit maintenue horizontale malgré l’action de la sphère,
sera l’ordonnée verticale commune à tous ses points, et
les coordonnées horizontales de ses deux pôles. On aura donc les composantes horizontales de l’action de la sphère en chacun de ces deux points, en substituantces coordonnées la place de
et
dans les expressions de
et
Nous prendrons ensuite pour ces forces les demi-sommes des valeurs relatives aux deux extrémités de l’aiguille ; et en négligeant les puissances de
supérieures au cube, ces valeurs moyennes seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}l^{2}\cos .^{2}\varepsilon +2{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdy}}l^{2}\sin .\varepsilon \cos .\varepsilon +{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dy^{2}}}l^{2}\sin .^{2}\varepsilon \right),\\\mathrm {Y} +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}l^{2}\cos .^{2}\varepsilon +2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxdy}}l^{2}\sin .\varepsilon \cos .\varepsilon +{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dy^{2}}}l^{2}\sin .^{2}\varepsilon \right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1d5bab95d565e04b79fcd0d50d3783a6c066ea)
qu’il faudra mettre au lieu de
et
dans l’expression de
Soit aussi
la demi-longueur de l’aiguille d’inclinaison,
la distance de son point de suspension à l’axe des
l’azimut de son plan, en sorte qu’on ait
![{\displaystyle x=u\cos .\lambda ,\qquad y=u\sin .\lambda \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d462d35607a78e87cdd945f9696edcdb6edd10fa)
désignons par
la force horizontale
on trouvera, en négligeant la quatrième puissance de
que les forces
et
doivent être remplacées dans
par
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Z} +&{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}}l^{'2}\cos .^{2}\varphi +2{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dzdu}}l^{'2}\sin .\varphi \cos .\varphi +{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dy^{2}}}l^{'2}\sin .^{2}\varphi \right),\\\mathrm {U} +&{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dz^{2}}}l^{'2}\cos .^{2}\varphi +2{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dzdu}}l^{'2}\sin .\varphi \cos .\varphi +{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{du^{2}}}l^{'2}\sin .^{2}\varphi \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9cff73dc2144ca6be91f9677571e816ee2e911)