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des corrections relatives, soit aux longueurs des aiguilles soit à leur action sur la sphère.

En désignant par $l$ la demi-longueur de la première aiguille, et supposant qu’elle soit maintenue horizontale malgré l’action de la sphère, $z$ sera l’ordonnée verticale commune à tous ses points, et $x\pm l.\cos .\varepsilon ,$ $y\pm l\sin .\varepsilon ,$ les coordonnées horizontales de ses deux pôles. On aura donc les composantes horizontales de l’action de la sphère en chacun de ces deux points, en substituantces coordonnées la place de $x$ et $y$ dans les expressions de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$ Nous prendrons ensuite pour ces forces les demi-sommes des valeurs relatives aux deux extrémités de l’aiguille ; et en négligeant les puissances de $l$ supérieures au cube, ces valeurs moyennes seront

${\begin{aligned}\mathrm {X} +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}l^{2}\cos .^{2}\varepsilon +2{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdy}}l^{2}\sin .\varepsilon \cos .\varepsilon +{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dy^{2}}}l^{2}\sin .^{2}\varepsilon \right),\\\mathrm {Y} +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}l^{2}\cos .^{2}\varepsilon +2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxdy}}l^{2}\sin .\varepsilon \cos .\varepsilon +{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dy^{2}}}l^{2}\sin .^{2}\varepsilon \right),\end{aligned}}$

qu’il faudra mettre au lieu de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ dans l’expression de $\operatorname {tang} .\varepsilon .$ Soit aussi $l'$ la demi-longueur de l’aiguille d’inclinaison, $u$ la distance de son point de suspension à l’axe des $z,$ $\lambda$ l’azimut de son plan, en sorte qu’on ait

$x=u\cos .\lambda ,\qquad y=u\sin .\lambda \,;$

désignons par $\mathrm {U}$ la force horizontale ${\sqrt {(\mathrm {X} +m)^{2}+(\mathrm {Y} +m')^{2}}}\,;$ on trouvera, en négligeant la quatrième puissance de $l',$ que les forces $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {U}$ doivent être remplacées dans $\operatorname {tang} .\varphi$ par

${\begin{aligned}\mathrm {Z} +&{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}}l^{'2}\cos .^{2}\varphi +2{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dzdu}}l^{'2}\sin .\varphi \cos .\varphi +{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dy^{2}}}l^{'2}\sin .^{2}\varphi \right),\\\mathrm {U} +&{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dz^{2}}}l^{'2}\cos .^{2}\varphi +2{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dzdu}}l^{'2}\sin .\varphi \cos .\varphi +{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{du^{2}}}l^{'2}\sin .^{2}\varphi \right).\end{aligned}}$