et à l’instant de l’observation, et de l’orientation de l’axe de rotation de la sphère. On mettra donc cette valeur de
avec celle de
dans l’équation (14), ou plutôt dans sa différentielle relative à
afin d’en déduire, en la résolvant ensuite, la valeur de
que nous aurons seulement besoin de connaître.
(20) En ayant égard aux propriétés connues des fonctions
on voit immédiatement que la valeur la plus générale de
qui puisse satisfaire à cette équation, sera de la forme :
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dr}}=\mathrm {R} \cos .u+\mathrm {R} '\sin .u\sin .(nt+v)+\mathrm {R} ''\sin .u\cos .(nt+v)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73b7c02faca64da0db5f5b94f13a59f8d30fde0)
étant des fonctions inconnues de
et
dont chacune n’aura qu’une seule valeur possible d’après la proposition du no 18.
Si l’on représente ce que ces quantités deviennent, par
quand on fait
et par
dans le cas de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '&=\mathrm {A} \cos .u'+\mathrm {A} '\sin .u'\sin .(nt+v')+\mathrm {A} ''\sin .u'\cos .(nt+v'),\\{\text{ϐ}}'&=\mathrm {B} \cos .u'+\mathrm {B} '\sin .u'\sin .(nt+v')+\mathrm {B} ''\sin .u'\cos .(nt+v')\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86551ab3f241017b16ac7aa610e62f316884e75f)
et d’après les propriétés de
il en résultera
![{\displaystyle \iint \alpha '\mathrm {P} _{i}\sin .u'du'dv'=0,\qquad \iint {\text{ϐ}}'\mathrm {P} _{i}\sin .u'du'dv'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94bfc1d8e3afbe3c5a750234de0d8476acb1f72)
excepté dans le cas de l’indice
pour lequel on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint \alpha '\mathrm {P} _{1}\sin .u'du'dv'={\frac {4\pi }{3}}\left[\mathrm {A} \cos .u\right.&+\mathrm {A} '\sin .u\sin .(nt+v)\\&\ \left.+\mathrm {A} ''\sin .u\cos .(nt+v)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3008a4dfe5eff50ed2bbb979cdab568bd1da4ce)