Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/677

Si ce point appartient à la partie pleine de la sphère, en sorte qu’on ait $r>b$ et $<a,$ on développera ${\frac {1}{\rho _{1}}}$ suivant les puissances croissantes de ${\frac {r}{a}},$ et ${\frac {r}{\rho _{2}}}$ suivant celles de ${\frac {b}{r}}\,;$ on aura, de cette manière :

${\begin{alignedat}{4}{\frac {1}{\rho _{1}}}=&{\frac {1}{a}}&&+{\frac {r}{a^{2}}}\mathrm {P} _{1}&&+{\frac {r^{2}}{a^{3}}}\mathrm {P} _{2}+\ldots &&+{\frac {r^{i}}{a^{i+1}}}\mathrm {P} _{i}+{\text{etc}}.,\\{\frac {1}{\rho _{2}}}=&{\frac {1}{r}}&&+{\frac {b}{r^{2}}}\mathrm {P} _{1}&&+{\frac {b^{2}}{r^{3}}}\mathrm {P} _{2}+\ldots &&+{\frac {b^{i}}{r^{i+1}}}\mathrm {P} _{i}+{\text{etc}}.,\end{alignedat}}$

$\mathrm {P} _{i}$ étant dans les deux séries, la même fonction de $\cos .\delta ,$ rationnelle entière et du degré $i.$ En appelant $\mathrm {Q} _{i},$ le terme de $\mathrm {Q}$ correspondant à $\mathrm {P} _{i},$ on aura donc

$\mathrm {Q} _{i}={\frac {kr^{i}}{a^{i-1}}}\iint \alpha '\mathrm {P} _{i}\sin .u'du'dv'-{\frac {kb^{i+2}}{r^{i+1}}}\iint {\text{ϐ}}'\mathrm {P} _{i}\sin .u'du'dv'\,;$

et il faudra substituer à la place de $\mathrm {Q} ,$ dans l’équation (14), la somme de ces termes depuis $i=0$ jusqu’à $i=\infty .$

Nous supposerons enfin que la sphère creuse soit aimantée par l’influence d’une force qui soit la même en grandeur et en direction pour tous ses points, telle que l’action magnétique de la terre, par exemple. La quantité $\mathrm {V}$ dont les différences partielles prises avec des signes contraires, expriment les composantes de cette force, sera une fonction linéaire de $x,\,y,\,z\,;$ et en y mettant pour ces coordonnées leurs valeurs précédentes, elle prendra la forme :

$\mathrm {V} =-mr\cos .u-m'r\sin .u\sin .v-m''r\sin .u\cos .v\,;$

$m,\,m',\,m''$ étant des constantes positives qui dépendront de l’intensité et de la direction du magnétisme terrestre au lieu