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On prouvera de même que l’on a

${\frac {d\gamma }{dx}}-{\frac {d\alpha }{dz}}=0,\qquad {\frac {d{\text{ϐ}}}{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}=0\,;$

ce qui montre que $\alpha ,{\text{ϐ}},\gamma ,$ sont les différences partielles d’une même fonction de $x,y,z\,;$ en sorte qu’en désignant par $\varphi$ cette fonction inconnue, nous aurons

$\alpha ={\frac {d\varphi }{dx}},\qquad {\text{ϐ}}={\frac {d\varphi }{dy}},\qquad \gamma ={\frac {d\varphi }{dz}}.\qquad$ (11)

L’équation trouvée dans le n^o précédent se changera donc en celle-ci

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0\,;\qquad \qquad$(12)

et la valeur de $\mathrm {Q}$ deviendra

$\mathrm {Q} =k\iint \left({\frac {d\varphi '}{dx'}}\cos .s+{\frac {d\varphi '}{dy'}}\cos .s'+{\frac {d\varphi '}{dz'}}\cos .s''\right){\frac {d\omega }{\rho }},\qquad$(13)

en appelant $\varphi '$ ce que devient $\varphi$ quand on y remplace $x,\,y,\,z,$ par les coordonnées $x',y',z'$ d’un point de la surface de $\mathrm {A} .$

Après avoir éliminé $\Theta ,\Theta ',\Theta '',$ des équations (6), au moyen des formules (7) dans lesquelles on fera $t=\theta ,$ ces trois équations (6) se réduiront à une seule dont elles seront les différences partielles relatives à $x,\,y,\,z,$ savoir :

$\varphi +\int _{0}^{t}\left(\mathrm {V} _{1}+\mathrm {Q} _{1}-{\frac {4\pi k}{3}}\varphi _{1}\right)f'(t-\theta )d\theta =0,\qquad$(14)

où l’on a représenté par $\mathrm {V_{1},\,Q_{1}}$ e $\varphi _{1},$ ce que deviennent $\mathrm {V,\,Q}$ e $\varphi ,$ quand on y met $\theta$ à la place de $t.$

(17) La solution du problème qui fait l’objet de ce Mémoire, ne dépend donc, comme dans le cas du magnétisme