On prouvera de même que l’on a
![{\displaystyle {\frac {d\gamma }{dx}}-{\frac {d\alpha }{dz}}=0,\qquad {\frac {d{\text{ϐ}}}{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afce2c2dcb99a07b5ddb3a719c38af335b5f62a9)
ce qui montre que
sont les différences partielles d’une même fonction de
en sorte qu’en désignant par
cette fonction inconnue, nous aurons
![{\displaystyle \alpha ={\frac {d\varphi }{dx}},\qquad {\text{ϐ}}={\frac {d\varphi }{dy}},\qquad \gamma ={\frac {d\varphi }{dz}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e7fa0332fe16e25531da53010205e04211ff55)
(11)
L’équation trouvée dans le no précédent se changera donc en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0\,;\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f89b1145eeef02a10212a5758d313b554d8df4)
(12)
et la valeur de
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {Q} =k\iint \left({\frac {d\varphi '}{dx'}}\cos .s+{\frac {d\varphi '}{dy'}}\cos .s'+{\frac {d\varphi '}{dz'}}\cos .s''\right){\frac {d\omega }{\rho }},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8124cfe12b8ac975b0327037041fcc82c64716)
(13)
en appelant
ce que devient
quand on y remplace
par les coordonnées
d’un point de la surface de ![{\displaystyle \mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b3a778414f6a1907d8bc1577228f859bedad03)
Après avoir éliminé
des équations (6), au moyen des formules (7) dans lesquelles on fera
ces trois équations (6) se réduiront à une seule dont elles seront les différences partielles relatives à
savoir :
![{\displaystyle \varphi +\int _{0}^{t}\left(\mathrm {V} _{1}+\mathrm {Q} _{1}-{\frac {4\pi k}{3}}\varphi _{1}\right)f'(t-\theta )d\theta =0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b382ffffe8fd96590bff6724d6d41a3c7eb58022)
(14)
où l’on a représenté par
e
ce que deviennent
e
quand on y met
à la place de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
(17) La solution du problème qui fait l’objet de ce Mémoire, ne dépend donc, comme dans le cas du magnétisme