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$\mathrm {Q} =k\iint \left(\alpha '\cos .s+{\text{ϐ}}'\cos .s'+\gamma '\cos .s''\right){\frac {d\omega }{\rho }}-k\iiint {\frac {\mathrm {F} 't}{\rho }}dx'dy'dz'.$

On en déduira, comme précédemment,

${\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dz^{2}}}=4\pi k\mathrm {F} t\,;$

et les équations (7) donneront ensuite

${\frac {d\mathrm {T} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {T} '}{dy}}+{\frac {d\mathrm {T} ''}{dz}}=-{\frac {8\pi k\mathrm {F} t}{3}}\,;$

au moyen de quoi l’on déduira des équations (6) :

$\mathrm {F} t=-{\frac {8\pi k}{3}}\int _{0}^{t}\mathrm {F} \theta f'(t-\theta )d\theta \,;$

équation à laquelle on satisfait évidemment en prenant $\mathrm {F} t=0,$ et qui n’a pas d’autre solution, quelle que soit la fonction $f't.$

En effet, si l’on a $\mathrm {F} t=0,$ depuis $t=0$ jusqu’à une certaine valeur $t=a,$ je dis que l’on aura encore $\mathrm {F} t=0$ jusqua $t=a+\delta ,$ $\delta$ étant infiniment petit ; car d’après l’équation dont il est question, et en négligeant le carré de $\delta ,$ nous aurons

$\mathrm {F} (a+\delta )=-{\frac {8\pi k}{3}}\left[\int _{0}^{a}\mathrm {F} \theta f'(a+\delta -\theta )d\theta +\mathrm {F} af'(\delta )\delta \right]\,;$

et comme on a $\mathrm {F} a=0,$ et que $\mathrm {F} \theta$ est aussi nulle par hypothèse dans toute l’étendue de l’intégrale que cette formule renferme, il en résulte $\mathrm {F} (a+\delta )=0.$ D’ailleurs l’intégrale relative à $\theta$ que contient notre équation, s’évanouissant avec $t,$ on a