nous aurons
![{\displaystyle \alpha =p{\frac {d\varphi }{dx}},\qquad {\text{ϐ}}=p{\frac {d\varphi }{dy}},\qquad \gamma =p{\frac {d\varphi }{dz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d68cbfbe3a2b04b37fd4f95f2c944364e3ad7b)
et en outre
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\mathrm {Q} &=\iint \left({\frac {d\varphi '}{dx'}}\cos .s+{\frac {d\varphi '}{dy'}}\cos .s'+{\frac {d\varphi '}{dz'}}\cos .s''\right){\frac {p'd\omega }{\rho }}-\mathrm {R} ,\\\mathrm {R} &=\iiint \left({\frac {d.p'{\frac {d\varphi '}{dx'}}}{dx'}}+{\frac {d.p'{\frac {d\varphi '}{dy'}}}{dy'}}+{\frac {d.p'{\frac {d\varphi '}{dz'}}}{dz'}}\right){\frac {dx'dy'dz'}{\rho }},\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d88bdd748fb45eaf62f7ff798a161086587c53)
(9)
en désignant par
et
ce que deviennent
et
quand on y change
en
La solution du problème qui nous occupe, c’est-à-dire, le calcul de l’action de
sur un point extérieur au moyen des équations (3), ne dépendra donc plus que d’une seule inconnue, ou de la résolution de l’équation (8).
(14) Les centres des forces auxquels répond la fonction
étant extérieurs, et les coordonnées
appartenant à un point intérieur de
on a
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dz^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b76b557d4f867066c95eb027dd8d6ee3780fa2b)
et ce point ne faisant pas partie de sa surface, on a aussi identiquement
![{\displaystyle {\frac {d^{2}.{\frac {1}{\rho }}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}.{\frac {1}{\rho }}}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}.{\frac {1}{\rho }}}{dz^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe8f6e1aea23c47dccdfa9876b84f0b58ea7b00)
dans toute l’étendue de l’intégrale double que
renferme, laquelle disparaît par conséquent dans la quantité
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dz^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c6850cb01234a537a5ab4e055dbbdfb1a2c8d2)