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nous aurons

$\alpha =p{\frac {d\varphi }{dx}},\qquad {\text{ϐ}}=p{\frac {d\varphi }{dy}},\qquad \gamma =p{\frac {d\varphi }{dz}},$

et en outre

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {Q} &=\iint \left({\frac {d\varphi '}{dx'}}\cos .s+{\frac {d\varphi '}{dy'}}\cos .s'+{\frac {d\varphi '}{dz'}}\cos .s''\right){\frac {p'd\omega }{\rho }}-\mathrm {R} ,\\\mathrm {R} &=\iiint \left({\frac {d.p'{\frac {d\varphi '}{dx'}}}{dx'}}+{\frac {d.p'{\frac {d\varphi '}{dy'}}}{dy'}}+{\frac {d.p'{\frac {d\varphi '}{dz'}}}{dz'}}\right){\frac {dx'dy'dz'}{\rho }},\end{aligned}}\right\}$ (9)

en désignant par $p'$ et $\varphi ',$ ce que deviennent $p$ et $\varphi$ quand on y change $x,\,y,\,z,$ en $x',\,y',\,z'.$ La solution du problème qui nous occupe, c’est-à-dire, le calcul de l’action de $\mathrm {A}$ sur un point extérieur au moyen des équations (3), ne dépendra donc plus que d’une seule inconnue, ou de la résolution de l’équation (8).

(14) Les centres des forces auxquels répond la fonction $\mathrm {V}$ étant extérieurs, et les coordonnées $x,y,z,$ appartenant à un point intérieur de $\mathrm {A} ,$ on a

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dz^{2}}}=0\,;$

et ce point ne faisant pas partie de sa surface, on a aussi identiquement

${\frac {d^{2}.{\frac {1}{\rho }}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}.{\frac {1}{\rho }}}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}.{\frac {1}{\rho }}}{dz^{2}}}=0\,;$

dans toute l’étendue de l’intégrale double que $\mathrm {Q}$ renferme, laquelle disparaît par conséquent dans la quantité

${\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dz^{2}}}.$