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dans ce second cas, nous aurons donc

$\iiint \mathrm {R} dx'dy'dz'=-2\pi .$

Enfin, si le point $\mathrm {M}$ est situé dans l’intérieur de ce corps l’angle $i$ sera aigu dans toute l’étendue de la surface ; d’où il résultera que l’on aura dans ce troisième et dernier cas

$\iiint \mathrm {R} dx'dy'dz'=-4\pi .$

En effectuant les différentiations relatives à $x,\,y,\,z,$ qui sont indiquées dans l’expression de $\mathrm {R} ,$ on trouve cette quantité nulle, excepté dans le cas où le dénominateur $\rho ^{5}$ devient égal à zéro ; et cette exception n’ayant pas lieu quand le point $\mathrm {M}$ est extérieur, c’est pour cela que l’intégrale $\iiint \mathrm {R} dx'dy'dz'$ est alors égale à zéro. D’après cette considération, on peut donner une plus grande extension aux résultats précédents.

En effet, soit $k'$ une fonction donnée de $x',\,y',\,z',$ et $k$ ce qu’elle devient lorsqu’on fait $x'=x,$ $y'=y,$ $z'=z.$ Soit ensuite

$\iiint {\frac {k'dx'dy'dz'}{\rho }}=\mathrm {V} .$

En différentiant sous les signes d’intégrations par rapport à $x,y,z,$ on en conclura

$\iiint \mathrm {R} dx'dy'dz'={\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dz^{2}}}.$

Quand le point $\mathrm {M}$ ne fera pas partie du volume auquel répond l’intégrale triple, cette intégrale sera nulle à cause de $\mathrm {R} =0$ dans toute son étendue. Lorsque $\mathrm {M}$ sera, situé dans l’intérieur ou à la surface de ce volume, on le partagera arbitrai-