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DU MOUVEMENT DES FLUIDES.

ci-dessus par $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {Z'}$ sont nulles, quand on fait abstraction de la pression atmosphérique. L’équation différentielle à laquelle l’expression de $u$ en $y,z$ doit satisfaire est donc simplement

$g\sin .\theta +\varepsilon \left({\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)=0.$

À l’égard des conditions relatives aux points des parois, en désignant toujours par $b$ la demi-largeur du lit, on devra avoir comme ci-dessus

$\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {dy}{du}}=0\quad {\textrm {quand}}\quad y=\pm b.$

Si nous nommons $c$ la profondeur du lit, et si nous regardons comme nulle la résistance qui provient du frottement de la surface supérieure de l’eau contre la couche d’air qui est en contact avec elle, nous devrons avoir

${\begin{aligned}{\frac {du}{dz}}&=0\quad {\textrm {quand}}\quad z=0,\\\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dz}}&=0\quad {\textrm {quand}}\quad z=c.\end{aligned}}$

On voit facilement, d’après cela, que l’expression de $u$ trouvée ci-dessus pour le cas du tuyau,

$u={\frac {4.4.g\sin .\theta }{\varepsilon }}$$\mathrm {SS}$${\frac {\sin .mb\sin .nc\cos .my\cos .nz}{\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(2mb+\sin .2mb\right)\left(2nc+\sin .2nc\right)}},$

convient à la question dont il s’agit présentement, avec cette seule différence que l’axe des $x,$ au lieu de passer par le centre des sections transversales, passe ici par le milieu de leur côté supérieur. $\sin .\theta$ est la pente de la surface du fluide, $b$ la demi-largeur du lit, $c$ sa profondeur. La plus grande