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MÉMOIRE SUR LES LOIS

${\begin{aligned}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s={\frac {\varepsilon .\mathrm {R} }{n-m}}&\left[{\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}.\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right).\Psi \left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)-\right.\\&\left.{\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}.\Psi \left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right).\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)\right].\end{aligned}}$

Si l’on suppose d’ailleurs le nombre $n$ pris dans la série des valeurs représentées par $m,$ les fonctions $\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {m}{\varepsilon }}r}}\right),\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {n}{\varepsilon }}\mathrm {R} }}\right)$ seront également assujetties à satisfaire, pour la valeur particulière $r=\mathrm {R} ,$ à l’équation ${\tfrac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}s+{\tfrac {ds}{dr}}=0,$ d’où résulte

${\frac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}=-{\frac {{\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}{\Psi \left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}}=-{\frac {{\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}{\Psi \left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}}.$

Le second membre de l’équation précédente est donc nul, sauf le cas particulier où l’on aurait $n=m,$ dans lequel la valeur de ce second membre se présente sous la forme ${\tfrac {0}{0}}.$ Pour trouver dans ce cas cette valeur, soit $\mu ={\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}},\nu ={\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}.$ L’équation précédente devient

$\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s=\mathrm {R} {\frac {\mu \Psi '\left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi \left(\nu \mathrm {R} \right)-\nu \Psi \left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi '\left(\nu \mathrm {R} \right)}{\nu ^{2}-\mu ^{2}}}$ ;

différentiant les deux termes de la fraction par rapport à $\nu$, et faisant ensuite $\nu =\mu$, il vient

${\begin{aligned}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s={\frac {\mathrm {R} }{2\mu }}\left[\mu \mathrm {R} \left(\Psi '\left(\mu \mathrm {R} \right)\right)^{2}\right.&-\Psi \left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi '\left(\mu \mathrm {R} \right)\\&\left.-\mu \mathrm {R} \Psi \left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi ''\left(\mu \mathrm {R} \right)\right].\end{aligned}}$

Or la fonction $\Psi (\mu r)$ étant, pour la valeur $r=\mathrm {R} ,$ assujettie