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MÉMOIRE SUR LES LOIS
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s={\frac {\varepsilon .\mathrm {R} }{n-m}}&\left[{\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}.\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right).\Psi \left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)-\right.\\&\left.{\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}.\Psi \left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right).\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f40de5f6b89e353ad514070d78d32e3ead0b510)
Si l’on suppose d’ailleurs le nombre
pris dans la série des valeurs représentées par
les fonctions
seront également assujetties à satisfaire, pour la valeur particulière
à l’équation
d’où résulte
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}=-{\frac {{\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}{\Psi \left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}}=-{\frac {{\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}{\Psi \left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a07ee5bc69f287ff993913f5f0be2ad27ac719)
Le second membre de l’équation précédente est donc nul, sauf le cas particulier où l’on aurait
dans lequel la valeur de ce second membre se présente sous la forme
Pour trouver dans ce cas cette valeur, soit
L’équation précédente devient
![{\displaystyle \int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s=\mathrm {R} {\frac {\mu \Psi '\left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi \left(\nu \mathrm {R} \right)-\nu \Psi \left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi '\left(\nu \mathrm {R} \right)}{\nu ^{2}-\mu ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0332a44c0c511b362b250ba23b29c977176ba1bb)
;
différentiant les deux termes de la fraction par rapport à
,
et faisant ensuite
, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s={\frac {\mathrm {R} }{2\mu }}\left[\mu \mathrm {R} \left(\Psi '\left(\mu \mathrm {R} \right)\right)^{2}\right.&-\Psi \left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi '\left(\mu \mathrm {R} \right)\\&\left.-\mu \mathrm {R} \Psi \left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi ''\left(\mu \mathrm {R} \right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5403e3ea0b5fdf8b8a6b7a79f13ae4c2b31f76)
Or la fonction
étant, pour la valeur
assujettie