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MÉMOIRE SUR LES LOIS
Pour y parvenir, on multipliera chaque membre de l’équation précédente par
représentant une fonction
de
et l’on intégrera depuis
jusqu’à
ce qui donnera
![{\displaystyle \int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma .\varphi (r)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d395ac469bcd462f2a755fb6eb249457414a784c)
![{\displaystyle \mathbf {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8a515de34f0af7d15de46f73bf674950d444a8)
![{\displaystyle \Lambda \int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109c96aac08ce210c27da96e3790768de30638f1)
Mais, à cause de l’équation dont dépend la valeur de
![{\displaystyle \int dr.\sigma s=-{\frac {\varepsilon }{m}}\int dr.\sigma \left({\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}\right)\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dc3edb730b1684265c52f38c4b63bd6e16f7b7)
et comme, en intégrant par parties, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int dr.\sigma {\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}=\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s+\int dr{\frac {d^{2}\sigma }{dr^{2}}},\\&\int dr.\sigma {\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}={\frac {\sigma }{r}}s-\int dr{\frac {\tfrac {\sigma }{r}}{dr}}s,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38d235bd4ff4ab09f0dac5d3a285708413fa464)
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m}{\varepsilon }}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s=\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s\right)_{0}-\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {\sigma }{dr}}s\right)_{\mathrm {R} }+\\\int _{0}^{\mathrm {R} }dr\left({\frac {d{\tfrac {\sigma }{r}}}{dr}}s-{\frac {d^{2}\sigma }{dr^{2}}}s\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0015195904bc759ecb8e8c68e3978c4ef291d979)
les parenthèses affectées des signes
et
indiquant les valeurs
que prennent les quantités comprises dans ces parenthèses,
lorsqu’on fait
Supposons maintenant que la fonction
soit assujettie à satisfaire à l’équation
![{\displaystyle {\frac {n}{\varepsilon }}\sigma -{\frac {d{\tfrac {\sigma }{r}}}{dr}}+{\frac {d^{2}\sigma }{dr^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c2716e0b3d21bdb87be7fe1598e892e9d3acfe)