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MÉMOIRE SUR LES LOIS
même distance de l’axe ont des températures égales, permet d’employer ici la solution exposée dans le Chapitre vi de la Théorie de la chaleur.
Pour trouver d’abord une valeur particulière de
qui satisfasse aux équations précédentes, nous supposerons donc
étant un nombre quelconque, et
une fonction de
. En substituant dans l’équation indéfinie, où nous faisons pour le moment abstraction du terme constant
il viendra
![{\displaystyle {\frac {m}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2acc127357d0447494ff712fb3bc31cb608ca4)
équation dont dépend la fonction
. On satisfait à cette équation
au moyen de la série
![{\displaystyle s=1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {r^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {r^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {r^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {m^{4}}{\varepsilon ^{4}}}{\frac {r^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\textrm {etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667891e9748938be753fba9541287bea151db9a8)
dont la somme est donnée par l’intégrale définie
![{\displaystyle s={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }dq.\cos .\left(r{\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}\sin .q\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88cd4310d5318080a75651985a725fe000f0b96f)
Si maintenant on substitue la valeur de
dans l’équation
déterminée
et que l’on fasse
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}\left(1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {R^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {R^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {R^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {m^{4}}{\varepsilon ^{4}}}{\frac {R^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\textrm {etc.}}\right)=\\{\frac {2m}{\varepsilon }}{\frac {R}{2^{2}}}-{\frac {4m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {R^{3}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {6m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {R^{5}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}-{\frac {8m^{5}}{\varepsilon ^{5}}}{\frac {R^{7}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}+{\textrm {etc.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56fc581d00d9d1efa77c0d33666d6528ce710d9)
ou bien