Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/610

422

MÉMOIRE SUR LES LOIS

ce dernier cas, $\alpha$ représente la longueur du tuyau, et $\zeta$ la distance verticale des surfaces de l’eau dans deux vases ou ce qu’on appelle communément la charge d’eau.

Si la largeur et la hauteur du tuyau étaient très-petites, les premières valeurs des quantités $mb,nc,$ données par les équations déterminées, seraient à très-peu près ${\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} b}{\varepsilon }}},{\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} c}{\varepsilon }}}.$ Les valeurs suivantes des mêmes quantités différeraient très-peu des nombres $\pi ,2\pi ,3\pi ,\ldots$ Ainsi, dans ce cas, les valeurs qu’il faudrait attribuer aux nombres $m,n,$ seraient respectivement ${\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} }{\varepsilon b}}},{\tfrac {\pi }{b}},{\tfrac {2\pi }{b}},{\tfrac {3\pi }{b}},\ldots ,$ et ${\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} }{\varepsilon c}}},{\tfrac {\pi }{c}},{\tfrac {2\pi }{c}},{\tfrac {3\pi }{c}},\ldots$ Les nombres de chacune de des ces suites étant, dans l’hypothèse dont il s’agit, très grands par rapport aux premiers, tous les termes de la valeur de $\mathrm {U} ,$ à raison du facteur ${\tfrac {1}{mn\left(m^{2}+n^{2}\right)}},$ peuvent être négligés par rapport au premier. On a donc simplement

$\mathrm {U} ={\frac {\rho g\zeta }{\mathrm {E} \alpha }}.{\frac {bc}{b+c}}\ ;$

et si la section du tuyau est un quarré dont $b$ représente le demi-côté, l’expression de la vitesse moyenne est

$\mathrm {U} ={\frac {\rho g\zeta }{\mathrm {E} \alpha }}.{\frac {b}{2}}\ ;$

Écoulement d’un fluide par un tuyau rectiligne dont la section est circulaire.

La solution donnée précédemment pour le cas d’un tuyau rectangulaire apprend que l’état constant dont le fluide s’approche continuellement, et dont son mouvement ne diffère