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MÉMOIRE SUR LES LOIS
Or on démontre que, les nombres
étant supposés
assujettis, comme les nombres
aux équations déterminées
précédentes, la valeur de l’intégrale double indiquée
dans le second membre sera 0 si
diffère de
, ou si
diffère de
; mais que, dans le cas où
et
, la
valeur de cette intégrale est
![{\displaystyle {\frac {2mb+\sin .2mb}{4m}}.{\frac {2nc+\sin .2nc}{4n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e85cfa67a927f3f594887c3eb74ecd84cf9bf5c)
(Voyez la Théorie de la chaleur, page 399). D’un autre côté,
la valeur de l’intégrale double indiquée dans le premier
membre est alors
L’équation précédente se réduit donc à
![{\displaystyle {\frac {\rho g\zeta }{\varepsilon \alpha }}.{\frac {\sin .mb}{m}}.{\frac {\sin .nc}{n}}=\mathrm {Q} \left(m^{2}+n^{2}\right).{\frac {2mb+\sin .2mb}{4m}}.{\frac {2nc+\sin .2nc}{4n}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda85232f4515bfa94350532a5bdc88eb85544d0)
ce qui donne la valeur de chacun des coefficients représentés
par
. Quant aux autres coefficients, ils se détermineront
de la même manière par la considération de l’état initial du
fluide. Si l’on désigne par
la vitesse initiale du filet
de fluide dont la position est fixée par les coordonnées
on devra avoir
![{\displaystyle \varphi (y,z)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16822a5d6b11ca42d980661893897de4eb01dec2)
![{\displaystyle \mathrm {S} \mathrm {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73447aca483ab6af502aa9d41e98a598e768fcf8)
![{\displaystyle \left(\mathrm {P} +\mathrm {Q} \right)\cos .my\cos .nz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9ea475044bcc39d9c015f587f0c7bed5df2813)
Il résulte de ce qui précède que, quel que soit le mouvement
initial du fluide, ce mouvement s’approche continuellement
d’un même état régulier et permanent, entièrement
indépendant de cet état initial, et dont la nature est exprimée
par l’équation