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MÉMOIRE SUR LES LOIS

Or on démontre que, les nombres $m',n'$ étant supposés assujettis, comme les nombres $m,n,$ aux équations déterminées précédentes, la valeur de l’intégrale double indiquée dans le second membre sera 0 si $m'$ diffère de $m$, ou si $n'$ diffère de $n$ ; mais que, dans le cas où $m'=m$ et $n'=n$, la valeur de cette intégrale est

${\frac {2mb+\sin .2mb}{4m}}.{\frac {2nc+\sin .2nc}{4n}}.$

(Voyez la Théorie de la chaleur, page 399). D’un autre côté, la valeur de l’intégrale double indiquée dans le premier membre est alors ${\tfrac {\sin .mb}{m}}.{\tfrac {\sin .nc}{n}}.$ L’équation précédente se réduit donc à

${\frac {\rho g\zeta }{\varepsilon \alpha }}.{\frac {\sin .mb}{m}}.{\frac {\sin .nc}{n}}=\mathrm {Q} \left(m^{2}+n^{2}\right).{\frac {2mb+\sin .2mb}{4m}}.{\frac {2nc+\sin .2nc}{4n}}\ ;$

ce qui donne la valeur de chacun des coefficients représentés par $\mathrm {Q}$. Quant aux autres coefficients, ils se détermineront de la même manière par la considération de l’état initial du fluide. Si l’on désigne par $\varphi (y,z)$ la vitesse initiale du filet de fluide dont la position est fixée par les coordonnées $y,z,$ on devra avoir

$\varphi (y,z)=$$\mathrm {S} \mathrm {S}$$\left(\mathrm {P} +\mathrm {Q} \right)\cos .my\cos .nz.$

Il résulte de ce qui précède que, quel que soit le mouvement initial du fluide, ce mouvement s’approche continuellement d’un même état régulier et permanent, entièrement indépendant de cet état initial, et dont la nature est exprimée par l’équation