418
mémoire sur les lois
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dy}}=0\ {\textrm {quand}}\ y=\pm b,\\&\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dz}}=0\ {\textrm {quand}}\ z=\pm c.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdc25b8c3f2acc4e7e2c6f521ddfdd381d17109)
La valeur de la pression est indépendante de
, en sorte
qu’elle est la même pour tous les points situés sur une même
ligne horizontale perpendiculaire à l’axe du tuyau. Nommons
la distance fixe ou variable de l’extrémité supérieure de la
portion de fluide contenue dans le tuyau à l’origine des
,
la longueur de la partie du tuyau occupée par le fluide,
et
étant mesures sur l’axe. Désignons par
et
les hauteurs
dues aux pressions qui ont lieu respectivement aux
deux extrémités du fluide, pour les points situés dans l’axe,
pressions que nous supposerons constantes. Il faudra que
l’on ait
quand
et
quand
L’expression
![{\displaystyle p=\rho g.\mathrm {Z} -\rho g\left(\mathrm {Z} -\mathrm {Z} '\right){\frac {x-a}{\alpha }}+\rho g.z\cos .\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36849d4d292c1c89a92a16d87662898f7f21a9a3)
satisfait à ces conditions, aussi bien qu’à la troisième des équations
indéfinies. En substituant cette expression dans la première
de ces équations, et posant
il
viendra
![{\displaystyle \rho {\frac {du}{dt}}={\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}+\varepsilon \left({\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20a66acec51d29d8dab02791eceadc3277eb21d)
La quantité
représente la différence de niveau des extrémités
supérieures des lignes
et
supposées portées verticalement
aux deux extrémités du fluide. La question se
réduit maintenant à trouver une expression de
qui satisfasse
en même temps à cette équation, aux deux équations
déterminées écrites ci-dessus, et à l’état initial du fluide.