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du mouvement des fluides

${\begin{aligned}&\mathrm {E} u+\varepsilon \left[\cos .l.2{\frac {du}{dx}}+\cos .m\left({\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}\right)+\cos .n\left({\frac {du}{dz}}+{\frac {dw}{dx}}\right)\right]=0,\\&\mathrm {E} v+\varepsilon \left[\cos .l\left({\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}\right)+\cos .m.2{\frac {dv}{dy}}+\cos .n\left({\frac {dv}{dz}}+{\frac {dw}{dy}}\right)\right]=0,\\&\mathrm {E} w+\varepsilon \left[\cos .l\left({\frac {du}{dz}}+{\frac {dw}{dx}}\right)+\cos .m\left({\frac {dv}{dz}}+{\frac {dw}{dy}}\right)+\cos .n.2{\frac {dw}{dz}}\right]=0.\end{aligned}}$

La valeur de la constante $\mathrm {E}$ doit varier suivant la nature des corps avec lesquels le fluide est en contact, et (ce qui est physiquement impossible) s’il y avait un espace vide au-dessus de la portion libre de la surface du fluide, ces équations devraient encore être satisfaites pour les points appartenant à cette portion, en y supposant $\mathrm {E} =0$.

Les équations précédentes peuvent encore être simplifiées. En effet, les molécules du fluide contiguës à la paroi ne pouvant se mouvoir dans une direction perpendiculaire à la surface, on a la relation

$0=u.\cos .l+v.\cos .m+w.\cos .n,$

en vertu de laquelle elles se réduisent à

${\begin{aligned}&\mathrm {E} u+\varepsilon \left(\cos .l.{\frac {du}{dx}}+\cos .m.{\frac {du}{dy}}+\cos .n.{\frac {du}{dz}}\right)=0,\\&\mathrm {E} v+\varepsilon \left(\cos .l.{\frac {dv}{dx}}+\cos .m.{\frac {dv}{dy}}+\cos .n.{\frac {dv}{dz}}\right)=0,\\&\mathrm {E} w+\varepsilon \left(\cos .l.{\frac {dw}{dx}}+\cos .m.{\frac {dw}{dy}}+\cos .n.{\frac {dw}{dz}}\right)=0.\end{aligned}}$

Dans un point où la paroi serait perpendiculaire à l’axe des $z$, on aurait simplement

$\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dz}}=0,\quad \mathrm {E} v+\varepsilon {\frac {dv}{dz}}=0.$