des puissances paires de
et
, termes qui se trouveront
multipliés par 4. Ainsi, effectuant la multiplication indiquée, tout se réduit à intégrer la quantité
![{\displaystyle {\frac {4.\mathrm {F} (\rho )}{\rho ^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&\alpha '^{2}\left\{{\begin{array}{l}\left(u\sin .^{2}r-v\sin .r\cos .r\right)\delta u\\\left(-u\sin .r\cos .r+v\cos .^{2}r\right)\delta v\end{array}}\right\}\\&\beta '^{2}\left\{{\begin{array}{l}\left(u\cos .^{2}r\sin .^{2}s+v\sin .r\cos .r\sin .^{2}s+w\cos .r\sin .s\cos .s\right)\delta u\\\left(u\sin .r\cos .r\sin .^{2}s+v\sin ^{2}.r\sin .^{2}s+w\sin .r\sin .s\cos .s\right)\delta v\\\left(u\cos .r\sin .s\cos .s+v\sin .r\sin .s\cos .s+w\cos .^{2}s\right)\delta w\end{array}}\right\}\\&\gamma '^{2}\left\{{\begin{array}{l}\left(u\cos .^{2}r\cos .^{2}s+v\sin .r\cos .r\cos .^{2}s-w\cos .r\sin .s\cos .s\right)\delta u\\\left(u\sin .r\cos .r\cos .^{2}s+v\sin .^{2}r\cos .^{2}s-w\sin .r\sin .s\cos .s\right)\delta v\\\left(-u\cos .r\sin .s\cos .s-v\sin .r\sin .s\cos .s+w\sin .^{2}s\right)\delta w\end{array}}\right\}\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c173cc90e9dcc0085e6ebdf946e5c9c3b2099fa)
dans l’étendue du huitième de sphère où
et
ont des valeurs positives.
Pour y parvenir nous substituerons, comme ci-dessus,
les coordonnées polaires
et
aux coordonnées rectangulaires,
en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha '=\rho \cos .\psi \cos .\varphi ,\\&\beta '=\rho \cos .\psi \sin .\varphi ,\\&\gamma '=\rho \sin .\psi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9848d5b49e8c7706895f482a8da01cd49468998)
Mettant donc ces valeurs dans l’expression précédente, et multipliant par l’élément de volume
, nous aurons à prendre d’abord les trois intégrales
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\iint d\psi d\varphi .\cos .^{3}\psi \cos .^{2}\varphi ,\ \iint d\psi d\varphi .\cos .^{3}\psi \sin .^{2}\varphi ,\\&\iint d\psi d\varphi .\sin .^{2}\psi \cos .\psi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e130ae7704381c1700d77cee862096ee3af26e50)