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DU MOUVEMENT DES FLUIDES.
Si aucune force n’était appliquée aux points intérieurs du fluide, la valeur de
devrait être constante dans toute l’étendue de ce corps.
En second lieu, à l’égard des points appartenant à la surface, si l’on désigne par
les angles que forme un plan tangent à la surface mené au point dont les coordonnées sont
avec les plans des
des
et des
et par
l’élément différentiel de la surface, on pourra remplacer
par
par
et
par
(Voyez la Mécanique analytique, 1re partie, section VII, art. 29 et 30). La partie de l’équation qui est relative à ces points devient donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=\mathbf {S} ds^{2}\left[(p'\cos .l'\delta x'-p''\cos .l''\delta x'')\right.&+(p'\cos .m'\delta y'-p''\cos .m''\delta y'')\\&\,\left.+\ (p'\cos .n'\delta z'-p''\cos .n''\delta z'')\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65bf067eaf98a139cd94ab9497ad2baa96ff13f4)
On en conclut que dans la partie de la surface qui est libre, où les variations des coordonnées de chaque point sont entièrement indéterminées, on doit avoir
Ainsi, la figure que doit affecter cette partie de la surface est donnée en termes finis par l’équation
![{\displaystyle 0=\int \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right)+{\textit {const.}}\ :}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268e5ac91d0da72439eb58443e9d67f3503d88ff)
l’équation différentielle est
![{\displaystyle 0=\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd765242d2cffaeb4e460992c09b0d0700b8a17)
en sorte que la résultante des forces
agissant sur chaque molécule du fluide placée à la surface libre, doit être dirigée suivant la normale à cette surface.