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En substituant ${\frac {1}{2}}$ à $m$ dans cette équation, et en multipliant les deux membres de celle qui résulte de cette substitution par $-ii',$ on a la valeur de l’action de deux éléments de fils conducteurs transformée ainsi

$-{\frac {2ii'\mathrm {dd} '{\sqrt {r}}}{\sqrt {r}}}={\frac {{\frac {3}{2}}ii'}{p-2}}.{\frac {\mathrm {dd} '\left(r^{p}\right)}{pr^{p}}}-{\frac {\left({\frac {1}{2}}-p\right)ii'}{p-2}}.{\frac {\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{2}}},$

et l’on peut, dans cette expression, assigner à $p$ la valeur que l’on veut. Celle qui donne un résultat plus commode pour le calcul est $p=-1,$ en l’adoptant, il vient

$-{\frac {2ii'\mathrm {dd} '{\sqrt {r}}}{\sqrt {r}}}={\frac {1}{2}}ii'r\mathrm {dd} '{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{2}}.{\frac {ii'\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{2}}}$

$={\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\left({\frac {\cos .\varepsilon }{r^{2}}}+r{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}\right).$

J’ai déja trouvé d’une autre manière, page 253, cette expression de la force qu’exercent l’un sur l’autre deux éléments de fils conducteurs ; on ne peut l’employer, pour simplifier les calculs, que quand les conducteurs sont rectilignes, parce que ce n’est qu’alors que l’angle $\varepsilon$ est constant et connu ; mais dans ce cas, c’est elle qui donne de la manière la plus simple les valeurs des forces et des moments de rotation qui résultent de l’action mutuelle de deux conducteurs de ce genre. Si j’ai employé dans ce Mémoire d’autres moyens de calculer ces valeurs, c’est qu’à l’époque où je l’ai écrit je ne connaissais pas encore cette transformation de ma formule.

III. Sur la direction de la droite désignée dans ce Mémoire sous le nom de directrice de l’action électro-dynamique à un point donné, lorsque cette action est celle d’un circuit fermé et plan dont toutes les dimensions sont très-petites.

La droite que j’ai nommée directrice de l’action électro-dyna-