courbe fermée
il faut donc qu’on ait
et que la valeur de la force due à l’action mutuelle des deux éléments
soit
![{\displaystyle -{\frac {ii'\mathrm {dd} '\left(r^{m}\right)}{m\varepsilon ^{m}}}=-{\frac {2ii'\mathrm {dd} '{\sqrt {r}}}{\sqrt {r}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b11b9faab7762613e42f80552129fab5f4b6e81)
II. Sur une transformation propre à simplifier le calcul de l’action mutuelle de deux conducteurs rectilignes.
Quand les deux conducteurs sont rectilignes, l’angle formé par les directions des deux éléments est constant et égal à celui des directions mêmes des deux conducteurs ; il est donę censé connu, et en le désignant par
on a, page 207,
![{\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}=-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} s'}}=-\cos .\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a42a3567e5ba73661725c1d70194e6da59dd5f)
d’où il suit que
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {dd} '\left(r^{m}\right)}{mr^{m}}}={\frac {(m-1)\mathrm {d} r\mathrm {d} r'+r\mathrm {dd} 'r}{r^{2}}}={\frac {(m-2)\mathrm {d} r\mathrm {d} r'-\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88f13dc865480ed97aa66a5b9196d4806a2da6f)
En désignant par
un autre exposant quelconque, on a de même
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {dd} '\left(r^{p}\right)}{pr^{p}}}={\frac {(p-2)\mathrm {d} r\mathrm {d} r'-\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37c8ec9044db5aee478acd5153b20f5c766e274)
et, en éliminant
entre ces deux équations, on obtient
![{\displaystyle {\frac {(p-2)\mathrm {dd} '\left(r^{m}\right)}{mr^{m}}}-{\frac {(m-2)\mathrm {dd} '\left(r^{p}\right)}{pr^{p}}}={\frac {(m-p)\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5263c180864b11ea68590d2aa4455ded2347537)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {dd} '\left(r^{m}\right)}{mr^{m}}}={\frac {m-2}{p-2}}.{\frac {\mathrm {dd} '\left(r^{p}\right)}{pr^{p}}}+{\frac {m-p}{p-2}}.{\frac {\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/396b5b2707c6fbe478e992fd395c0ad91767a90f)