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courbe fermée $s\,;$ il faut donc qu’on ait $2m-1=0,$ $m={\frac {1}{2}},$ et que la valeur de la force due à l’action mutuelle des deux éléments $\mathrm {d} 's,$ $\mathrm {d} s'$ soit

$-{\frac {ii'\mathrm {dd} '\left(r^{m}\right)}{m\varepsilon ^{m}}}=-{\frac {2ii'\mathrm {dd} '{\sqrt {r}}}{\sqrt {r}}}.$

II. Sur une transformation propre à simplifier le calcul de l’action mutuelle de deux conducteurs rectilignes.

Quand les deux conducteurs sont rectilignes, l’angle formé par les directions des deux éléments est constant et égal à celui des directions mêmes des deux conducteurs ; il est donę censé connu, et en le désignant par $\varepsilon ,$ on a, page 207,

$r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}=-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} s'}}=-\cos .\varepsilon ,$

d’où il suit que

${\frac {\mathrm {dd} '\left(r^{m}\right)}{mr^{m}}}={\frac {(m-1)\mathrm {d} r\mathrm {d} r'+r\mathrm {dd} 'r}{r^{2}}}={\frac {(m-2)\mathrm {d} r\mathrm {d} r'-\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{2}}}.$

En désignant par $p$ un autre exposant quelconque, on a de même

${\frac {\mathrm {dd} '\left(r^{p}\right)}{pr^{p}}}={\frac {(p-2)\mathrm {d} r\mathrm {d} r'-\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{2}}},$

et, en éliminant ${\frac {drdr'}{r^{2}}}$ entre ces deux équations, on obtient

${\frac {(p-2)\mathrm {dd} '\left(r^{m}\right)}{mr^{m}}}-{\frac {(m-2)\mathrm {dd} '\left(r^{p}\right)}{pr^{p}}}={\frac {(m-p)\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{2}}},$

d’où

${\frac {\mathrm {dd} '\left(r^{m}\right)}{mr^{m}}}={\frac {m-2}{p-2}}.{\frac {\mathrm {dd} '\left(r^{p}\right)}{pr^{p}}}+{\frac {m-p}{p-2}}.{\frac {\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{2}}}.$