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et en faisant pour abréger $k+1=m,$ on a pour la valeur de la force cherchée cette expression très-simple

$-{\frac {ii'\mathrm {dd} '\left(r^{m}\right)}{mr^{m}}}.$

Il ne reste plus alors qu’à déterminer $m$ d’après le cas d’équilibre qui démontre que la somme des composantes des forces qu’exerce un fil conducteur sur un élément, prises dans la direction de cet élément, est toujours nulle quand le fil conducteur forme un circuit fermé. Ce cas d’équilibre, que j’ai considéré dans ce Mémoire comme le troisième, doit l’être alors comme le quatrième, puisqu’il est le dernier qu’on emploie dans la détermination complète de la force cherchée. En remplaçant $\mathrm {d} 'r$ par $-\cos .\theta '\mathrm {d} s'$ dans la valeur

$-{\frac {ii'\mathrm {d} \left(r^{m-1}\mathrm {d} 'r\right)}{r^{m}}}$

de la force que les deux éléments exercent l’un sur l’autre, on a, pour sa composante, dans la direction de l’élément $\mathrm {d} s',$

${\frac {ii'\mathrm {d} s'\cos .\theta '\mathrm {d} \left(r^{m-1}\cos .\theta '\right)}{r^{m}}}={\frac {1}{2}}.{\frac {ii'\mathrm {d} s'\mathrm {d} \left(r^{2m-2}\cos .^{2}\theta '\right)}{r^{2m-1}}},$

dont il faut que l’intégrale relative aux différentielles qui dépendent de $\mathrm {d} s$ soit nulle toutes les fois que la courbes est fermée ; mais il est aisé de voir, en intégrant par parties, qu’elle est égale à

${\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\left[{\frac {\cos .^{2}\theta '_{2}}{r_{2}}}-{\frac {\cos .^{2}\theta '_{1}}{r_{1}}}+(2m-1)\int {\frac {\cos .^{2}\theta '\mathrm {d} r}{r^{2}}}\right].$

La première partie de cette valeur s’évanouit quand la courbe $s$ est fermée, parce qu’alors $r_{2}=r_{1},$ $\cos .\theta '_{2}=\cos .\theta '_{1},$ à l’égard de la seconde on démontre facilement, comme nous l’avons fait, page 209, que $\int {\frac {\cos .^{2}\theta '\mathrm {d} r}{r^{2}}}$ ne peut s’évanouir, quelle que soit la forme de la