que infini du second ordre, doit être considéré comme le même dans les deux systèmes.
Or le produit
est de deux dimensions : il faut donc que
soient de la dimension
et comme les angles
sont exprimés par des nombres qui n’entrent pour rien dans les dimensions des valeurs des différentielles, et que
ne contient que la seule ligne
il faut nécessairement que cette fonction soit proportionnelle à
en sorte que la force qu’exercent l’un sur l’autre deux éléments de fils conducteurs est exprimée par
![{\displaystyle {\frac {ii'\varphi (\theta ,\theta ',\omega )}{r^{2}}}\mathrm {d} s\mathrm {d} s'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e04d0c9f3febddef93bd0ce16f2ed4d4621b3b6)
Les deux premiers cas d’équilibre déterminent ensuite la fonction
où
seul reste inconnu, et l’on a
![{\displaystyle {\frac {ii'(\sin .\theta \sin .\theta '\cos .\omega +k\cos .\theta \cos .\theta ')}{r^{2}}}\mathrm {d} s\mathrm {d} s',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a865f83a62b65109f59211ed02c6ec755cb3cc7)
pour la valeur de la force cherchée : c’est, comme on sait, sous cette forme que je l’ai donnée dans le Mémoire que j’ai lu à l’Académie le 4 décembre 1820. En remplaçant alors
et
par leurs valeurs
![{\displaystyle -{\frac {r\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}\mathrm {d} s\mathrm {d} s',\qquad -{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3450aee600a6b23f0f9275c491fc9dab70aa64c9)
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {ii'}{r^{2}}}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+k{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}\right)\mathrm {d} s\mathrm {d} s'=\\&-{\frac {ii'(r\mathrm {dd} 'r+k\mathrm {d} r\mathrm {d} 'r)}{r^{2}}}=-{\frac {ii'r^{k}\mathrm {dd} 'r+kr^{k-1}\mathrm {d} r\mathrm {d} 'r}{r^{k+1}}}=\\&-{\frac {ii'\mathrm {d} \left(r^{k}\mathrm {d} 'r\right)}{r^{k+1}}}=-{\frac {ii'\mathrm {dd} '\left(r^{k+1}\right)}{(k+1)r^{k+1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b4cda8d4b57fb518a9d8cf6d32f796f1527eb9)