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que infini du second ordre, doit être considéré comme le même dans les deux systèmes.

Or le produit $\mathrm {d} s\mathrm {d} s'$ est de deux dimensions : il faut donc que $f(r,\theta ,\theta ',\omega )\cos .\alpha ,$ $f(r,\theta ,\theta ',\omega )\cos .\beta ,$ $f(r,\theta ,\theta ',\omega )\cos .\gamma$ soient de la dimension $-2\,;$ et comme les angles $\theta ,\theta ',\omega ,\alpha ,\beta ,\gamma$ sont exprimés par des nombres qui n’entrent pour rien dans les dimensions des valeurs des différentielles, et que $f(r,\theta ,\theta ',\omega )$ ne contient que la seule ligne $r,$ il faut nécessairement que cette fonction soit proportionnelle à ${\frac {1}{r^{2}}},$ en sorte que la force qu’exercent l’un sur l’autre deux éléments de fils conducteurs est exprimée par

${\frac {ii'\varphi (\theta ,\theta ',\omega )}{r^{2}}}\mathrm {d} s\mathrm {d} s'.$

Les deux premiers cas d’équilibre déterminent ensuite la fonction $\varphi ,$ où $k$ seul reste inconnu, et l’on a

${\frac {ii'(\sin .\theta \sin .\theta '\cos .\omega +k\cos .\theta \cos .\theta ')}{r^{2}}}\mathrm {d} s\mathrm {d} s',$

pour la valeur de la force cherchée : c’est, comme on sait, sous cette forme que je l’ai donnée dans le Mémoire que j’ai lu à l’Académie le 4 décembre 1820. En remplaçant alors $\sin .\theta \sin .\theta '\cos .\omega ,$ et $\cos .\theta \cos .\theta '$ par leurs valeurs

$-{\frac {r\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}\mathrm {d} s\mathrm {d} s',\qquad -{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}},$

il vient

${\begin{aligned}&-{\frac {ii'}{r^{2}}}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+k{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}\right)\mathrm {d} s\mathrm {d} s'=\\&-{\frac {ii'(r\mathrm {dd} 'r+k\mathrm {d} r\mathrm {d} 'r)}{r^{2}}}=-{\frac {ii'r^{k}\mathrm {dd} 'r+kr^{k-1}\mathrm {d} r\mathrm {d} 'r}{r^{k+1}}}=\\&-{\frac {ii'\mathrm {d} \left(r^{k}\mathrm {d} 'r\right)}{r^{k+1}}}=-{\frac {ii'\mathrm {dd} '\left(r^{k+1}\right)}{(k+1)r^{k+1}}},\end{aligned}}$