Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/551

celle que nous avons employée plus haut relativement à

$\mathrm {d} ^{2}\sigma ={\frac {u\mathrm {d} u\mathrm {d} \varphi }{\cos .\xi }},$

en celle-ci

$\mu g\mathrm {d} zh'\varepsilon '\mathrm {d} '\chi \mathrm {d} '{\frac {v^{2}}{r^{3}}}.$

En supposant, comme nous l’avons fait pour la surface $\sigma ,$ que les quantités $h',\varepsilon '$ varient ensemble de manière que leur produit conserve une valeur constante $g',$ on intégrera cette dernière expression, en supposant l’angle $\chi$ constant, dans toute la longueur de la zone renfermée sur la surface $\sigma '$ entre les deux plans qui comprennent l’angle $\mathrm {d} '\chi$ depuis l’un des bords du contour $s'$ jusqu’à l’autre. Cette première intégration s’effectue immédiatement et donne

$-\mu gg'\mathrm {d} z\mathrm {d} '\chi \left({\frac {v_{2}^{2}}{r_{2}^{3}}}-{\frac {v_{1}^{2}}{r_{1}^{3}}}\right),$

$r_{1},v_{1}$ et $r_{2},v_{2}$ représentant les valeurs de $r$ et de $v$ pour les deux bords du contour $s'.$ Les deux parties de cette expression doivent maintenant être intégrées par rapport à $\chi$ respectivement dans les deux portions du contour $s'$ déterminées par les deux plans tangents à ce contour menés par l’ordonnée $y$ de l’élément $\mathrm {d} s\,;$ et d’après la remarque que nous avons faite, page 317, à l’égard de la valeur de la force parallèle aux $x$ dans le calcul relatif aux deux surfaces terminées par le contour $s,$ il est aisé de voir qu’on a ici

$-\mu gg'\mathrm {d} z\int {\frac {v^{2}\mathrm {d} '\chi }{r^{3}}},$

en prenant cette intégrale dans toute l’étendue du contour fermé $s'\,;$ les variables $r,v$ et $\chi$ n’étant plus relatives qu’à ce contour.