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en faisant varier $x',y',z',$ remplaçant $\delta x',\delta y',\delta z',$ par $h'\cos .\xi ',\ h'\cos .\eta ',$ $h'\cos .\zeta ',$ et changeant le signe du résultat, tandis que $x,y,z,$ et $\mathrm {d} x,\mathrm {d} y,\mathrm {d} z,$ doivent être considérées comme des constantes puisqu’elles appartiennent à l’élément $\mathrm {d} s.$

La formule dans laquelle on doit substituer $h'\cos .\xi ',\ h'\cos .\eta ',$ $h'\cos .\zeta ',$ à $\delta x',\delta y',\delta z',$ est donc

$\mu g\varepsilon '\left(\mathrm {d} z\mathrm {d} ^{2}\sigma '\delta '{\frac {y'-y}{r^{3}}}-\mathrm {d} y\mathrm {d} ^{2}\sigma '\delta '{\frac {z'-z}{r^{3}}}\right),$

qu’il faut intégrer après cette substitution dans toute l’étendue de la surface $\sigma '$ pour avoir l’action totale de cette surface et de celle qui lui est jointe sur l’assemblage des deux surfaces terminées par le contour $s.$ On peut faire cette double intégration séparément sur chacun des deux termes dont cette expression se compose. Exécutons d’abord celle qui est relative au premier terme

$\mu g\varepsilon '\mathrm {d} z\mathrm {d} ^{2}\sigma '\delta '{\frac {y'-y}{r^{3}}}.$

Pour cela, décomposons la surface $\sigma '$ en une infinité de zones infiniment étroites par une suite de plans perpendiculaires au plan des $xz$ menés par la coordonnée $y$ du milieu $o$ de l’élément $\mathrm {d} s.$ Nous prendrons, sur une de ces zones, pour $\mathrm {d} ^{2}\sigma '$ l’élément de la surface $\sigma '$ qui a pour expression

${\frac {v\mathrm {d} 'v\mathrm {d} '\chi }{\cos .\eta '}},$

et nous aurons alors à intégrer la quantité

$\mu g\varepsilon '\mathrm {d} z{\frac {v\mathrm {d} 'v\mathrm {d} '\chi }{\cos .\eta '}}\delta '{\frac {y'-y}{r^{3}}},$

qui se changera, par une transformation toute semblable à