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$\mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '\int {\frac {(z-z')^{2}\mathrm {d} x-(z-z')(x-x')\mathrm {d} z-(y-y')(x-x')\mathrm {d} y+(y-y')^{2}\mathrm {d} x}{r^{3}}}=$

$\mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '\int {\frac {\left[(z-z')^{2}+(y-y')^{2}\right]dx-(x-x')\left[(z-z')dz+(y-y')dy\right]}{r^{3}}}=$

$\mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '\int {\frac {\left[r^{2}-(x-x')^{2}\right]dx-(x-x')\left[rdr-(x-x')dx\right]}{r^{3}}}=$

$\mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '\int \left[{\frac {rdx-(x-x')dr}{r^{2}}}\right]=\mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '\left({\frac {x_{2}-x'}{r_{2}}}-{\frac {x_{1}-x'}{r_{1}}}\right),$

en nommant $x_{1},x_{2},$ et $r_{1},r_{2},$ les valeurs de $x$ et de $r$ aux deux extrémités de l’arc $s$ pour lequel on calcule la valeur de la différence des deux moments. Quand cet arc forme un circuit fermé, il est évident que $x_{2}=x_{1},$ $r_{2}=r_{1},$ ce qui rend nulle l’intégrale ainsi obtenue ; on a donc alors

$\mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '\int {\frac {zv^{2}\mathrm {d} \chi -yw^{2}\mathrm {d} \psi }{r^{3}}}=\mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '\left(z'\int {\frac {v^{2}\mathrm {d} \chi }{r^{3}}}-y'\int {\frac {w^{2}\mathrm {d} \psi }{r^{3}}}\right).$

On trouve par un calcul semblable que les moments relatifs aux deux autres axes sont les mêmes, pour un circuit fermé, soit qu’on suppose que les directions des forces

$\mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '{\frac {u^{2}\mathrm {d} \varphi }{r^{3}}},\qquad \mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '{\frac {v^{2}\mathrm {d} \chi }{r^{3}}},\qquad \mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '{\frac {w^{2}\mathrm {d} \psi }{r^{3}}}$

passent par l’élément $\mathrm {d} ^{2}\sigma '$ ou par le milieu de $\mathrm {d} s\,;$ d’où il suit que dans ces deux cas l’action qui a lieu sur le contour $s$ est exactement la même, ce contour étant invariablement lié aux deux surfaces très-voisines qu’il termine : l’action exercée sur ces deux surfaces par l’élément $\mathrm {d} ^{2}\sigma '$ se réduira donc, pourvu que le contours soit une courbe fermée, aux forces appliquées comme nous venons de le dire à chacun des éléments de ce contour, celle qui agit sur l’élément $\mathrm {d} s$ ayant pour valeur

$\mu g\varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma '{\frac {\mathrm {d} s\sin .\theta }{r^{2}}}.$