![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x\delta x+\mathrm {d} u\delta u}{{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} u^{2}}}{\sqrt {\delta x^{2}+\delta u^{2}+\delta t^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48072a762cf8ab039bf3703992a4d8ffc8e2ceb1)
pour le cosinus de l’angle compris entre la droite
et la normale
et puisque cet angle est droit,
d’où
Mais l’équation
![{\displaystyle r^{2}=(x-x')^{2}+u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a763ba1c5f86b5e92dc4474c07f4bed88724e5a)
donne
![{\displaystyle r\delta r=(x-x')\delta x+u\delta u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15476a32de39d56efde233b52fa9d234c1dad21)
et
![{\displaystyle r\mathrm {d} r=u\mathrm {d} u+(x-x')\mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291771d07ec3d949552c90fd7f2dc63648b24fcb)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle {\frac {\delta r}{\delta x}}={\frac {x-x'}{r}}+{\frac {u}{r}}.{\frac {\delta u}{\delta x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ea5718fe081275cc45f2d180aa8a5c9dfcda86)
et
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} u}}={\frac {u}{r}}+{\frac {x-x'}{r}}.{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}={\frac {u}{r}}-{\frac {x-x'}{r}}.{\frac {\delta u}{\delta x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c7daf2921c2711c9d136c77ab4d6f3d6663f94)
en éliminant
entre ces deux équations, il vient
![{\displaystyle (x-x'){\frac {\delta r}{\delta x}}+u{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} u}}={\frac {(x-x)^{2}}{r}}+{\frac {u^{2}}{r}}=r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887888d17d9aebb52ca15c23059aeae868734102)
Si nous tirons maintenant de cette équation la valeur de
pour la substituer dans celle de la force parallèle à l’axe des
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu h\varepsilon \varepsilon 'u\mathrm {d} u\mathrm {d} \varphi \left({\frac {3r-3u{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} u}}}{r^{4}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)=\\&\mu h\varepsilon \varepsilon '\mathrm {d} \varphi \left({\frac {2u\mathrm {d} u}{r^{3}}}-{\frac {3u^{2}\mathrm {d} r}{r^{4}}}\right)=\mu h\varepsilon \varepsilon '\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} {\frac {u^{2}}{r^{3}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a184f63c7a00c4cd7e15d27154a07311ec68e4)