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${\frac {\mathrm {d} x\delta x+\mathrm {d} u\delta u}{{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} u^{2}}}{\sqrt {\delta x^{2}+\delta u^{2}+\delta t^{2}}}}}$

pour le cosinus de l’angle compris entre la droite $mn$ et la normale $mh,$ et puisque cet angle est droit, $\mathrm {d} x\delta x+\mathrm {d} u\delta u=0,$ d’où ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}=-{\frac {\delta u}{\delta x}}.$ Mais l’équation

$r^{2}=(x-x')^{2}+u^{2},$

donne

$r\delta r=(x-x')\delta x+u\delta u,$

et

$r\mathrm {d} r=u\mathrm {d} u+(x-x')\mathrm {d} x,$

d’où l’on déduit

${\frac {\delta r}{\delta x}}={\frac {x-x'}{r}}+{\frac {u}{r}}.{\frac {\delta u}{\delta x}},$

et

${\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} u}}={\frac {u}{r}}+{\frac {x-x'}{r}}.{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}={\frac {u}{r}}-{\frac {x-x'}{r}}.{\frac {\delta u}{\delta x}}\,;$

en éliminant ${\frac {\delta u}{\delta x}}$ entre ces deux équations, il vient

$(x-x'){\frac {\delta r}{\delta x}}+u{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} u}}={\frac {(x-x)^{2}}{r}}+{\frac {u^{2}}{r}}=r.$

Si nous tirons maintenant de cette équation la valeur de $(x-x'){\frac {\delta r}{\delta x}}$ pour la substituer dans celle de la force parallèle à l’axe des $x,$ nous aurons

${\begin{aligned}&\mu h\varepsilon \varepsilon 'u\mathrm {d} u\mathrm {d} \varphi \left({\frac {3r-3u{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} u}}}{r^{4}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)=\\&\mu h\varepsilon \varepsilon '\mathrm {d} \varphi \left({\frac {2u\mathrm {d} u}{r^{3}}}-{\frac {3u^{2}\mathrm {d} r}{r^{4}}}\right)=\mu h\varepsilon \varepsilon '\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} {\frac {u^{2}}{r^{3}}}\end{aligned}}$