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d’éléments de la surface $\sigma$ sur la zone dont il s’agit. Ce sont ces éléments qu’on doit considérer comme les valeur de $\mathrm {d} ^{2}\sigma .$ Celui dont la position, à l’égard de l’élément $\mathrm {d} ^{2}\sigma ',$ est déterminée par les coordonnées polaires $r,\,u,\,\varphi ,$ est égal à sa projection $u\mathrm {d} u\mathrm {d} \varphi$ sur le plan des $yz$ divisée par le cosinus de l’angle $\xi$ compris entre ce plan et le plan tangent à la surface $\sigma$ avec lequel coïncide l’élément $d^{2}\sigma .$ Il faudra donc remplacer $d^{2}\sigma$ par ${\frac {u\mathrm {d} u\mathrm {d} \varphi }{\cos .\xi }}$ dans la formule précédente, et l’on aura

$\mu h\varepsilon \varepsilon '\mathrm {d} ^{2}\sigma 'u\mathrm {d} u\mathrm {d} \varphi \left({\frac {3(x-x'){\frac {\delta r}{\delta x}}}{r^{4}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right).$

Pour calculer la valeur de $(x-x'){\frac {\delta r}{\delta x}},$ soient $mx$ le prolongement de la coordonnée $mp=x$ du point $m$ où est situé l’élément $d^{2}\sigma ,$ $mu$ une parallèle au plan des $yz$ menée dans le plan $pmm'p',$ et $mt$ perpendiculaire à ce dernier plan au point $m.$ Il est aisé de voir que la droite $mn,$ suivant laquelle $pmm'p'$ coupe le-plan tangent en $m,$ à la surface $\sigma ,$ fait avec les trois lignes $mx,\,mu,\,mt,$ qui sont perpendiculaires entre elles, des angles dont les cosinus sont respectivement

${\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} u^{2}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} u^{2}}}},\quad {\text{et}}\quad o,$

et que la normale $mh$ fait avec les mêmes directions des angles dont les cosinus sont

${\frac {\delta x}{\sqrt {\delta x^{2}+\delta u^{2}+\delta t^{2}}}},\qquad {\frac {\delta u}{\sqrt {\delta x^{2}+\delta u^{2}+\delta t^{2}}}},\qquad {\frac {\delta t}{\sqrt {\delta x^{2}+\delta u^{2}+\delta t^{2}}}},$

$\delta t$ tenant lieu de la projection de $mh$ sur $mt.$ On a donc