les directions de
et de
Le double de l’aire de ce secteur est
et ses projections sur les plans des coordonnées sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}\mathrm {d} '\varphi =&r\mathrm {d} s'\sin .\theta '\cos .\lambda =(y'-y)\mathrm {d} z'-(z'-z)\mathrm {d} y',\\v^{2}\mathrm {d} '\chi =&r\mathrm {d} s'\sin .\theta '\cos .\mu =(z'-z)\mathrm {d} x'-(x'-x)\mathrm {d} z',\\w^{2}\mathrm {d} '\varphi =&r\mathrm {d} s'\sin .\theta '\cos .\nu \,=(x'-x)\mathrm {d} y'-(y'-y)\mathrm {d} x'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4724296a37b41fa0f28bc77c33f480a15c9dec0)
On peut donc donner cette nouvelle forme aux valeurs des forces ![{\displaystyle \mathrm {X,Y,Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d21c6080ad2422879dfccd69a9710fd08630ffb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&{\frac {1}{2}}ii'\left({\frac {v^{2}\mathrm {d} '\chi }{r^{n+1}}}\mathrm {d} z-{\frac {w^{2}\mathrm {d} '\psi }{r^{n+1}}}\mathrm {d} y\right)={\frac {1}{2}}.{\frac {ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\sin .\theta '}{r^{n}}}\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}\cos .\mu -{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}\cos .\nu \right),\\\mathrm {Y} =&{\frac {1}{2}}ii'\left({\frac {w^{2}\mathrm {d} '\psi }{r^{n+1}}}\mathrm {d} x-{\frac {u^{2}\mathrm {d} '\varphi }{r^{n+1}}}\mathrm {d} z\right)={\frac {1}{2}}.{\frac {ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\sin .\theta '}{r^{n}}}\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}\cos .\nu -{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}\cos .\lambda \right),\\\mathrm {Z} =&{\frac {1}{2}}ii'\left({\frac {u^{2}\mathrm {d} '\varphi }{r^{n+1}}}\mathrm {d} y-{\frac {v^{2}\mathrm {d} '\chi }{r^{n+1}}}\mathrm {d} x\right)\,={\frac {1}{2}}.{\frac {ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\sin .\theta '}{r^{n}}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}\cos .\lambda -{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}\cos .\mu \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bd4ada5572116c41c3e0841c1b4f6e81fb078c)
Or ces valeurs donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {X} {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}+\mathrm {Y} {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}+\mathrm {Z} {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}=0,\\&\mathrm {X} \cos .\lambda +\mathrm {Y} \cos .\mu +\mathrm {Z} \cos .\nu =0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ef839774dff646d4abfca480eeb0c79665a39b)
c’est-à-dire que la direction de la force
fait avec celle de l’élément
et avec la normale
au plan du secteur
des angles dont les \cosinus sont zéro, de sorte que cette force est à la fois dans le plan du secteur et perpendiculaire à l’élément
Quant à son intensité, on a par les formules connues
![{\displaystyle \mathrm {R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}} ={\frac {1}{2}}.{\frac {ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\sin .\theta '\sin .pom}{r^{n}}}={\frac {1}{2}}.{\frac {ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\sin .\theta '\cos .mok}{r^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fe56b35c009941b9b4d78235e58d1149db2d2b)