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dans l’expression de la composante parallèle à cet axe, la partie \frac{1}{2}ii'\frac{\mathrm{d}'(x-x')\mathrm{d}x}{r^n}, et n’avoir égard qu’à l’autre partie

${\frac {1}{2}}ii'\left[{\frac {(z-z')\mathrm {d} x'-(x-x')\mathrm {d} z'}{r^{n+1}}}\mathrm {d} z-{\frac {(x-x')\mathrm {d} y'-(y-y')\mathrm {d} x'}{r^{n+1}}}\mathrm {d} y\right]$

que nous représenterons par $\mathrm {X} .$

En appliquant les mêmes considérations aux deux autres composantes de la même force qui sont parallèles aux axes des $y$ et des $z,$ on leur substituera des forces $\mathrm {Y,Z} ,$ ayant pour valeurs

${\begin{aligned}\mathrm {Y} &={\frac {1}{2}}ii'\left[{\frac {(x-x')\mathrm {d} y'-(y-y')\mathrm {d} x'}{r^{n+1}}}\mathrm {d} x-{\frac {(y-y')\mathrm {d} z'-(z-z')\mathrm {d} y'}{r^{n+1}}}\mathrm {d} z\right],\\\mathrm {Z} &={\frac {1}{2}}ii'\left[{\frac {(y-y')\mathrm {d} z'-(z-z')\mathrm {d} y'}{r^{n+1}}}\mathrm {d} y-{\frac {(z-z')\mathrm {d} x'-(x-x')\mathrm {d} z'}{r^{n+1}}}\mathrm {d} x\right].\end{aligned}}$

Ainsi, lorsqu’il s’agit d’un circuit fermé, la résultante $\mathrm {R}$ des trois forces $\mathrm {X,Y,Z} ,$ auxquelles sont réduites les composantes de la force $-ii'r^{k}\mathrm {d} '(r^{k}\mathrm {d} r),$ remplace cette force ; et l’ensemble de toutes les forces $\mathrm {R}$ est équivalent à celui de toutes les forces exercées par chacun des éléments $\mathrm {d} s',$ du circuit fermé $s',$ et représente l’action totale de ce circuit sur l’élément $\mathrm {d} s.$ Voyons maintenant quelle est la valeur et la direction de cette force $\mathrm {R} .$

Soient $u,v,w,$ les projections de la ligne $r$ sur les plans des $yz,$ des $xz$ et des $xy,$ faisant respectivement les angles $\varphi ,\chi ,\psi ,$ avec les axes des $y,$ des $z$ et des $x.$ Considérons le secteur $\mathrm {M} 'om'$ (fig. 38), qui a pour base l’élément $\mathrm {d} s',$ et pour sommet le point $o$ milieu de $\mathrm {d} s,$ dont les coordonnées sont $x,y,z.$ Appelons $\lambda ,\mu ,\nu$ les angles que fait avec les axes la normale au plan de ce secteur, et $\theta '$ l’angle compris entre