Or, la direction de la ligne
perpendiculaire au plan de
étant parallèle à la tangente à la courbe
on a
![{\displaystyle \cos .\xi ={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}},\qquad \cos .\eta ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}},\qquad \cos .\zeta ={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ffa585282812a3fe3e6cb2a6dce320a7a44524)
De plus,
est évidemment égale à la somme des projections des trois coordonnées
x,y,z,
sur sa direction ; ainsi
![{\displaystyle q={\frac {x\mathrm {d} x+y\mathrm {d} y+z\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}={\frac {l\mathrm {d} l}{\mathrm {d} s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159dd5561986f7e3052c6acdd893e19a86202ea4)
puisqu’on à
Substituant ces valeurs dans celle que nous venons de trouver pour
elle devient
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {\lambda }{g}}\int \left({\frac {dz}{l^{3}}}-{\frac {3zdl}{l^{4}}}\right)={\frac {\lambda }{g}}\left({\frac {z}{l^{3}}}+\mathrm {C} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ece609e1a77f65a0a3b4cefa616428fce770d64)
Nommant
et
les valeurs de
relatives aux deux extrémités
du solénoïde, on a
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {\lambda }{g}}\left({\frac {z''}{l''^{3}}}-{\frac {z'}{l'^{3}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5081781239032c88b8ab17d94cb3996e759f6f)
En opérant de la même manière, pour les deux autres intégrales
on trouve des expressions semblables pour les représenter, et les valeurs des trois quantités que nous nous sommes proposé de calculer pour le solénoïde entier sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} ={\frac {\lambda }{g}}\left({\frac {x''}{l''^{3}}}-{\frac {x'}{l'^{3}}}\right),\\\mathrm {B} ={\frac {\lambda }{g}}\left({\frac {y''}{l''^{3}}}-{\frac {y'}{l'^{3}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba18d4b3164ef2c33d96628b32d34c91081a67d5)