et en substituant à 
la valeur tirée de cette proportion, nous aurons à calculer
![{\displaystyle \int \mathrm {d} \varphi \left[{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+{\frac {s^{2}\sin .^{2}\varepsilon }{\sin .^{2}(\varphi +\varepsilon )}}}}}\right]={\frac {\varphi }{a}}-\int {\frac {\mathrm {d} \varphi \sin .(\varphi +\varepsilon )}{\sqrt {s^{2}\sin .^{2}\varepsilon +a^{2}\sin .^{2}(\varphi +\varepsilon )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0300db793657998d874b55a0a36259339c02b8)
![{\displaystyle ={\frac {\varphi }{a}}+{\frac {1}{a}}\int {\frac {\mathrm {d} \cos .(\varphi +\varepsilon )}{\sqrt {{\frac {a^{2}+s^{2}\sin .^{2}\varepsilon }{a^{2}}}-\cos .^{2}(\varphi +\varepsilon )}}}={\frac {1}{a}}\left[\varphi +\operatorname {arc.sin} {\frac {a\cos .(\varphi +\varepsilon )}{\sqrt {a^{2}+s^{2}\sin .^{2}\varepsilon }}}+\mathrm {C} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd0133ba4cb93d588443c9651dabe6f75d7b972)
Nommons 
et 
les angles 
et prenons l’intégrale précédente entre 
et 
elle devient alors
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}\left[\mu +\operatorname {arc.sin} .{\frac {a\cos .(\mu +\varepsilon )}{\sqrt {a^{2}+s^{2}\sin .^{2}\varepsilon }}}-\operatorname {arc.sin} .{\frac {a\cos .\varepsilon }{\sqrt {a^{2}+s^{2}\sin .^{2}\varepsilon }}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53310ea0dfda8c395f88f67617facd7de48c321)
et, à cause de 
elle se change en
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}\left[\mu -\operatorname {arc.sin} .{\frac {a\cos .(\mu ')}{\sqrt {a^{2}+s^{2}\sin .^{2}\varepsilon }}}-\operatorname {arc.sin} .{\frac {a\cos .\varepsilon }{\sqrt {a^{2}+s^{2}\sin .^{2}\varepsilon }}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a34b6fbcb175cf002fa3abd0ac6ee41a2a3c63)
or
d’où l’on tire pour l’intégrale l’expression suivante :
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}\left[\mu -\operatorname {arc.sin} {\frac {a(s'-s\cos .\varepsilon )}{{\sqrt {a^{2}+s^{2}\sin .^{2}\varepsilon }}{\sqrt {s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}}}-\operatorname {arc.sin} .{\frac {a\cos .\varepsilon }{\sqrt {a^{2}+s^{2}\sin .^{2}\varepsilon }}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857618f23e52a5c4a3d09038d08bb7b097d06aaf)
ou, en passant du \sinus à la tangente pour les deux arcs,
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}\left[\mu -\operatorname {arc.tang} {\frac {a(s'-s\cos .\varepsilon )}{s\sin .\varepsilon {\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}}}-\operatorname {arc.tang} .{\frac {a\cot .\varepsilon }{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c37c58a1d8565c7fdcdabd5c9e4595a7a7cb1b)
et comme on trouve l’intégrale relative au triangle 
en
