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$\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\sin .\varepsilon ,$ on obtiendra l’intégrale proposée multipliée par $\sin .\varepsilon ,$ en cherchant le volume ayant pour base $\mathrm {NAM'D} ,$ et terminé à la surface dont les ordonnées élevées aux différents points de cette base ont pour valeur ${\frac {1}{r^{3}}}\,;$ $r$ étant la distance des deux éléments des courants, qui correspondent, d’après notre construction, à tous ces points de la surface $\mathrm {NAMD} .$

Or, pour calculer ce volume, nous pourrons partager la base en triangles ayant pour sommet commun le point $\mathrm {A} .$

Soient $\mathrm {A} _{p}$ une droite menée à l’un quelconque des points de l’aire du triangle $\mathrm {AND} ,$ et $pqq'p'$ l’aire comprise entre les deux droites infiniment voisines $\mathrm {A} p,\mathrm {A} q'$ et les deux arcs de cercle décrits de $\mathrm {A}$ avec les rayons $\mathrm {A} p=u$ et $\mathrm {A} p'=u+du\,:$ nous aurons, à cause que l’angle $\mathrm {NAM} '=\pi -\varepsilon$ et en appelant $\varphi$ l’angle $\mathrm {NA} p,$

$\sin .\varepsilon \iint {\frac {\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{3}}}=\iint {\frac {u\mathrm {d} u\mathrm {d} \varphi }{r^{3}}}.$

Or, si $a$ désigne la perpendiculaire commune aux directions des deux conducteurs, et $s$ et $s'$ les distances comptées de $\mathrm {A}$ sur les deux courants, on a

$r={\sqrt {a^{2}+u^{2}}},\qquad u={\sqrt {s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}\,:$

donc, en intégrant d’abord depuis $u=0$ jusqu’à $u=\mathrm {AR} =u_{1},$

$\sin .\varepsilon \iint {\frac {\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{3}}}=\iint {\frac {u\mathrm {d} u\mathrm {d} \varphi }{\left(a^{2}+u^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=\int \mathrm {d} \varphi \left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u_{1}^{2}}}}\right).$