en intégrant par rapport à
il vient
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}aii'(s'-b){\frac {d{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s'}}\mathrm {d} s'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03cde1de4aea21e964c4cc464b2146e1ca74fd1)
et en appelant
et
les distances
de
aux points
et intégrant entré ces limites l’action de
pour faire tourner l'élément
est
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}aii'(s'-b)\mathrm {d} s'\left({\frac {\mathrm {d} {\frac {1}{r''}}}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {\mathrm {d} {\frac {1}{r'}}}{\mathrm {d} s'}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e083d14bf766dd82ed678edf554e88d313f334d)
expression qu’il faut intégrer par rapport à
Or
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}aii'\int (s'-b)\mathrm {d} {\frac {1}{r''}}={\frac {1}{2}}aii'\left({\frac {s'-b}{r''}}-\int {\frac {\mathrm {d} s'}{r''}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939c92f59b389cd226cf64b2640a6e1f8deb6d9f)
et il est d’ailleurs aisé de voir qu’en nommant
la valeur
de
qui correspond à
et qui est une constante dans l’intégration actuelle, on a
d’où il suit que
![{\displaystyle r''={\frac {\sqrt {a^{2}+c^{2}}}{\sin .\beta ''}},\quad s'=-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\cot .\beta '',\quad \mathrm {d} s'={\frac {\sqrt {a^{2}+c^{2}}}{\sin .^{2}\beta ''}}d\beta ''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c3202f0faa28538ef21d8825f78926cf581252)
ainsi
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} s'}{r''}}=\int {\frac {\mathrm {d} \beta ''}{\sin .\beta ''}}=\operatorname {l} {\frac {\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta ''_{2}}{\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta ''_{1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24db259bc28c9c5757d0763184277e688c3b6298)
le second terme s’intégrera de la même manière, et l’on aura enfin pour le moment de rotation cherché
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}aii'\left({\frac {s'_{2}-b}{r_{2}''}}-{\frac {s'_{1}-b}{r_{1}''}}-{\frac {s'_{2}-b}{r_{2}'}}+{\frac {s'_{1}-b}{r_{1}'}}-\operatorname {l} {\frac {\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta ''_{2}\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta '_{1}}{\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta ''_{1}\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta '_{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5883bd23cdb840ec9c691257be9658311e578cb5)
Dans le cas où l’axe de rotation parallèle à la droite
ou
passe par le point d’intersection
des droites
et
on a
et si l’on suppose, en outre, que le courant qui