plan. Car
n’étant autre chose que
et
devenant
on a
![{\displaystyle q\sin .\varepsilon ={\frac {ss'sin.\varepsilon }{r}}=\mathrm {{\frac {MP.AQ}{MP}}=AQ} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4226f57a47b0449f0d3c6b570851d0e5ec0a173)
et nous avions trouvé par l’autre procédé,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ii'(p-r\cot .\varepsilon )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def84dec962419924bcac0c1c5d70848ba2b4e2d)
désignant la perpendiculaire
les deux résultats sont donc identiques. L’intégration faite entre les limites donne
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ii'\left[p_{2}''-p_{1}''-p_{2}'+p_{1}'+\cot .\varepsilon (r''_{1}+r_{2}'-r_{2}''-r_{1}')\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b677fafcc88d715ecd53d89fc82dd97b462a610)
si l’angle est droit, ce moment se réduit à
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ii'(p''_{2}-p''_{1}-p'_{2}+p'_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ece052d11963473a40357a8a9dcba77f9c90b0a)
Lorsque
mais que
n’est pas nul, le moment ci-dessus devient
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ii''\left(q-a^{2}\iint {\frac {\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{3}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cdeb0507dd3657a3a4519db4ff546da39d9c618)
L’intégrale qu’il s’agit de calculer dans ce cas est
![{\displaystyle \int \mathrm {d} s'\int {\frac {\mathrm {d} s}{r^{3}}}=\int \mathrm {d} s'\int {\frac {\mathrm {d} s}{\left(a^{2}+s^{2}+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=\int {\frac {s}{\left(a^{2}+s'^{2}\right){\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}+}}}}\mathrm {d} s',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c924f1293e9f86d26afc499ace9896f1b29eb5)
qu’il faut intégrer de nouveau par rapport à
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {s\mathrm {d} s'}{\left(a^{2}+s'^{2}\right){\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}+}}}}&=\int {\frac {\left(a^{2}+s^{2}\right)s\mathrm {d} s'}{\left(a^{4}+a^{2}s'^{2}+a^{2}s^{2}+s^{2}s'^{2}\right){\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}}}}}=\\\int {\frac {s\left(a^{2}+s^{2}\right){\cfrac {\mathrm {d} s'}{\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}}}}}{a^{2}\left(a^{2}+s^{2}+s'^{2}\right)+s^{2}s'^{2}}}&=\int {\frac {\cfrac {s\left(a^{2}+s^{2}\right)\mathrm {d} s'}{\left(a^{2}+s^{2}+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}{a^{2}+{\cfrac {s^{2}s'^{2}}{a^{2}+s^{2}+a's^{2}}}}}=\int {\frac {{\cfrac {dq}{\mathrm {d} s'}}\mathrm {d} s'}{a^{2}+q^{2}}}\\&={\frac {1}{a}}\operatorname {arc.tang} .{\frac {q}{a}}+\mathrm {C} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f473358a0c6a040c73678e68fba8d894897d1508)