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on obtient, en réduisant,

${\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+{\frac {ss'\sin .^{2}\varepsilon +a^{2}\cos .\varepsilon }{r^{3}}}=0,$

d’où

${\frac {ss'}{r^{3}}}=-{\frac {1}{\sin .^{2}\varepsilon }}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+{\frac {a^{2}\cos .\varepsilon }{r^{3}}}\right).$

Substituant cette valeur ainsi que celle de $ss'{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}$ dans l’expression du moment de rotation de l’élément, il devient

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}ii'\sin .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}-{\frac {a^{2}}{r^{3}}}-{\frac {\cos .\varepsilon }{\sin .^{2}\varepsilon }}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+{\frac {a^{2}\cos .\varepsilon }{r^{3}}}\right)\right]\\=&{\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\left(\sin .\varepsilon {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}-{\frac {a^{2}\sin .\varepsilon }{r^{3}}}-\cot .\varepsilon {\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}-{\frac {\cos .^{2}\varepsilon }{\sin .\varepsilon }}.{\frac {a^{2}}{r^{3}}}\right)\\=&{\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\left(\sin .\varepsilon {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}-\cot .\varepsilon {\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}-{\frac {1}{\sin .\varepsilon }}.{\frac {a^{2}}{r^{3}}}\right)\,;\end{aligned}}$

et intégrant par rapport à $s$ et $s',$ on a pour le moment total

${\frac {1}{2}}ii'\left(q\sin .\varepsilon -r\cot .\varepsilon -{\frac {a^{2}}{\sin .\varepsilon }}\iint {\frac {\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{3}}}\right)\,;$

le calcul se ramène donc, comme précédemment, à trouver la valeur de l’intégrale double $\iint {\frac {\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{3}}}.$

Si les courants sont dans un même plan, on a $a=0,$ et le moment se réduit à

${\frac {1}{2}}ii'(q\sin .\varepsilon -r\cot .\varepsilon ),$

résultat qui coïncide avec celui que nous avons obtenu en traitant directement deux courants situés dans un même