mais en faisant
on a
![{\displaystyle r^{2}=a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'cos.\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dbe879189b4a7bdb98528b3242ba88cd15bc3b)
d’où
![{\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}=s-s'\cos .\varepsilon ,\quad {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}=s'-s\cos .\varepsilon ,\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} sds'}}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}=-\cos .\varepsilon \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fc1b71e2d66f8fc5f0827f5999a92464754471)
et comme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s}}=-{\frac {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}{r^{2}}},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}=-{\frac {r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}-2{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}}{r^{3}}}={\frac {\cos .\varepsilon +3{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}}{r^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a557815fe1faa5b346bf1c7f7b60e12e9f54d54d)
la valeur de l’action des deux éléments devient
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\left({\frac {\cos .\varepsilon }{r^{2}}}+r{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e118eeed28f76d300450d6dabb701a7eb8835f6)
Pour avoir la composante parallèle à
il faut multiplier cette expression par le cosinus de l’angle
que fait
avec \mathrm{M'P} parallèle à
c’est-à-dire par
ou
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}aii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'\left({\frac {\cos .\varepsilon }{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3458a6aaae4c6b45ce62e2e082cab1d572693479)
et en intégrant dans toute l’étendue des deux courants, on trouve pour l’action totale
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}aii'\left({\frac {1}{r}}+\cos .\varepsilon \iint {\frac {\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{3}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e34d370c30dd4d985ec70dc379f8d8b7c050d9)
Si les deux courants font entre eux un angle droit, on a
et l’action parallèle à
se réduit, en prenant