en
sera donc
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}ii'\mathrm {d} s'\left({\frac {\sin .^{2}\theta }{\cos .\theta }}-{\frac {\cos .^{2}\theta }{\sin .\theta }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e656b1b4b49a45b74a3336873be06c5ba16668)
Lorsqu’on prend un point quelconque
de la circonférence pour origine des arcs, et qu’on fait
on a
![{\displaystyle s'=\mathrm {C} +2a\theta \quad {\text{et}}\quad \mathrm {d} s'=2a\mathrm {d} \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0986ea5958525d74e8079034be483630b19d46b1)
ce qui change l’expression précédente en
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}aii'\left({\frac {\sin .^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{\cos .\theta }}-{\frac {\cos .^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{\sin .\theta }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0482201324205817bff099975803dd86f47ede8b)
qu’il faut intégrer dans toute l’étendue de l’arc
pour avoir le moment de rotation de cet arc autour de son centre.
Or on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\sin .^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{\cos .\theta }}=&\operatorname {l} \operatorname {tang} .\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{2}}\theta \right)-\sin .\theta +\mathrm {C} _{1},\\\int {\frac {\cos .^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{\sin .\theta }}=&\operatorname {l} \operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\theta +\cos .\theta +\mathrm {C} '_{1}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95af83430f29f2da067435cd9c51cd6002541df)
si donc on appelle
et
les angles
et
le moment total de l’arc
sera
![{\displaystyle {\frac {a}{2}}ii'\left\{\operatorname {l} {\frac {\operatorname {tang} .\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{2}}\theta _{2}\right)\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\theta _{1}}{\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\theta _{2}\operatorname {tang} .\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{2}}\theta _{1}\right)}}-\sin .\theta _{2}-\cos .\theta _{2}+\sin .\theta _{1}+\cos .\theta _{1}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99ef1406c2007a4b565676cd27b8acf26042d82)
Cette expression, changée de signe, donne la valeur du moment de rotation du diamètre
dû à l’action de l’arc ![{\displaystyle \mathrm {L_{1}L_{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa35d540391d06166335e3a3d01b7353361b268c)
Dans un appareil que j’ai décrit précédemment, un conducteur qui a la forme d’un secteur circulaire, agit sur un autre conducteur composé d’un diamètre et d’une demi-circonférence qui est mobile autour d’un axe passant par le