par les rayons vecteurs extrêmes
on aura l’action de
sur
en intégrant l’expression précédente entre les limites
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {1}{2a}}ii'\mathrm {d} s'\left(\sin .^{2}\beta ''\cos .\beta ''+\cos .\beta ''-\sin .^{2}\beta '\cos .\beta '-\cos .\beta '\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11110a56871083403dc21a128ab07f64a3496fa)
mais on a à chaque limite, en y représentant les valeurs de
par
et ![{\displaystyle b'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542c3e5f1b4f0f7bf25f553d67eab79169feffcb)
![{\displaystyle s'=b''-a\cot .\beta ''=b'-a\cot .\beta ',\qquad \mathrm {d} s'={\frac {a\mathrm {d} \beta ''}{\sin .^{2}\beta ''}}={\frac {ad\beta '}{\sin .^{2}\beta '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302ab0efd1fd08c081d374589adaa082757d79e0)
en substituant ces valeurs et intégrant de nouveau entre les limites
et
on a pour la valeur de la force cherchée,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ii'{\bigg (}\sin .\beta ''_{2}-\sin .\beta ''_{1}-\sin .\beta '_{2}+\sin .\beta '_{1}{\bigg .}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6559d87eaa7c3dfad49ecb9618372eca57b0bd)
![{\displaystyle \left.-{\frac {1}{\sin .\beta ''_{2}}}+{\frac {1}{\sin .\beta ''_{1}}}+{\frac {1}{\sin .\beta '_{2}}}-{\frac {1}{\sin .\beta '_{1}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa8596019dba27f936f0a33a842efd6c300b485)
ou
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ii'\left({\frac {a}{r''_{2}}}-{\frac {a}{r''_{1}}}-{\frac {a}{r'_{2}}}+{\frac {a}{r'_{1}}}\right)+{\frac {r''_{1}+r'_{2}-r''_{2}-r'_{1}}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d7f5b621ca5605cd59dcaa7e42ed121ca23351)
Si les deux conducteurs sont de même longueur et perpendieulaires aux droites qui en joignent les deux extrémités d’un même côté, on a
![{\displaystyle r'_{1}=r''_{2}=a,\quad {\text{et}}\quad r'_{2}=r''_{1}=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444ab2d4f6b6fa130728788d58ff78d381854549)
en nommant
la diagonale du rectangle formé par ces deux droites et les deux directions des courants, l’expression précédente devient alors
![{\displaystyle ii'\left({\frac {c}{a}}-{\frac {a}{c}}\right)={\frac {ii'l^{2}}{ac}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ec668503d8f3460924e51f93064e1a299db410)