Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/422

pour l’expression du moment total

${\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} \varepsilon \iint {\frac {us'\mathrm {d} u\,\mathrm {d} s'}{r^{3}}}=-{\frac {1}{2}}ii'{\frac {\mathrm {d} \varepsilon }{\sin .^{2}\varepsilon }}\iint {\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} u\,\mathrm {d} s'}}\mathrm {d} u\,\mathrm {d} s'.$

En considérant la portion $\mathrm {L'L''}$ du courant $s',$ et la portion $\mathrm {L_{1}L_{2}}$ du secteur, et en faisant $\mathrm {L'L_{1}} =r'_{1},$ $\mathrm {L''L_{1}} =r''_{1},$ $\mathrm {L'L_{2}} =r'_{2},$ $\mathrm {L''L_{2}} =r''_{2},$ la valeur de cette intégrale est évidemment

${\frac {1}{2}}ii'{\frac {\mathrm {d} \varepsilon }{\sin .^{2}\varepsilon }}\left(r'_{2}+r''_{1}-r''_{2}-r'_{1}\right).$

Lorsque c’est à partir du centre $\mathrm {O}$ que commencent le secteur et le conducteur $s',$ la distance $r'_{1}=0\,;$ et si l’on fait $\mathrm {OL_{2}} =a,$ $\mathrm {OL''} =b,$ $\mathrm {L''L_{2}} =r,$ on trouve que leur action mutuelle est exprimée par</math>

${\frac {1}{2}}ii'{\frac {\mathrm {d} \varepsilon }{\sin .^{2}\varepsilon }}(a+b-r).$

Quand le conducteur $\mathrm {L'L''}$ (fig. 19) a pour milieu le centre $\mathrm {L_{1}}$ du secteur, et que sa longueur est double du rayon $a$ de ce secteur, on a $a=b,$ et en faisant $\mathrm {L'L_{1}L_{2}} =2\theta =\pi -\varepsilon ,$

$r'_{1}=r''_{1}=a,\qquad r'_{2}=2a\sin .\theta ,\qquad r''_{2}=2a\cos .\theta ,\qquad \mathrm {d} \varepsilon =-2\mathrm {d} \theta ,$

en sorte que la valeur du moment de rotation devient

$aii'{\frac {\mathrm {d} \varepsilon }{\sin .^{2}\varepsilon }}(\sin .\theta -\cos .\theta )={\frac {1}{2}}.{\frac {aii'\mathrm {d} \theta (\cos .\theta -\sin .\theta )}{\sin .^{2}\theta \cos .^{2}\theta }},$

On peut déduire de ce résultat une manière de vérifier ma formule au moyen d’un instrument dont je vais donner la description.

Aux deux points $a,a'$ (fig. 20) de la table $mn$ s’élèvent deux supports $ab,a'b'$ dont les parties supérieures $cb,c'b'$ sont isolantes ; ils soutiennent une lame de cuivre $\mathrm {H} de\mathrm {H} 'd'e'$