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par le centre $\mathrm {O}$ du secteur, et calculons d’abord celle d’un élément $\mathrm {MNQP}$ de l’aire de ce secteur sur un élément $\mathrm {M'N'}$ du conducteur $\mathrm {OS} '.$ Faisons $\mathrm {OM} =u,$ $\mathrm {MP=d} u,$ $\mathrm {OM} '=s',$ $\mathrm {MM} '=r,$ $\mathrm {S'ON} =\varepsilon ,$ $\mathrm {NOM=d} \varepsilon .$ Le moment de $\mathrm {MNQP}$ pour faire tourner $\mathrm {M'}$ autour de $\mathrm {O}$ sera, en observant que l’aire $\mathrm {MNQP}$ a pour expression $u\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} \varepsilon ,$

${\frac {1}{2}}ii's'\mathrm {d} s'{\frac {u\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} \varepsilon }{r^{3}}},$

et le moment du secteur sur le conducteur $s'$ s’obtiendra en intégrant cette expression par rapport à $u$ et $s'.$

On a

$r^{2}=s'^{2}+u^{2}-2us'\cos .\varepsilon ,$

d’où

$r{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} u}}=u-s'\cos .\varepsilon ,\qquad r{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}=s'-u\cos .\varepsilon ,$

et, en différenciant une seconde fois,

$r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} u\mathrm {d} s'}}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} u}}=-\cos .\varepsilon ,$

ou, en substituant à ${\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}$ et ${\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} u}}$ leurs valeurs,

$r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} u\mathrm {d} s'}}+{\frac {(u-s'\cos .\varepsilon )(s'-u\cos .\varepsilon )}{r^{2}}}=-\cos .\varepsilon ,$

ce qui devient, en effectuant les calculs et réduisant,

$r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} u\mathrm {d} s'}}+{\frac {us'\sin .^{2}\varepsilon }{r^{2}}}=0,$

d’où l’on tire

${\frac {us'}{r^{3}}}=-{\frac {1}{\sin .^{2}\varepsilon }}.{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} u\mathrm {d} s'}}\,;$

substituant cette valeur dans le moment élémentaire, on a