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$r_{1},x_{1},\theta '_{1},$ et la valeur de $\mathrm {X}$ se réduira à

$\mathrm {X} ={\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\left(\cos .\mu \int {\frac {x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x}{r^{n+1}}}-\cos .\nu \int {\frac {z\mathrm {d} x-x\mathrm {d} z}{r^{n+1}}}\right).$

En désignant par $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ les forces suivant les axes des $y$ et des $z$ résultant de l’action des mêmes éléments sur $\mathrm {d} s',$ on trouvera par un calcul semblable

${\begin{aligned}\mathrm {Y} =&{\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\left(\cos .\nu \int {\frac {y\mathrm {d} z-z\mathrm {d} y}{r^{n+1}}}-\cos .\lambda \int {\frac {x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x}{r^{n+1}}}\right),\\\\\mathrm {Z} =&{\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\left(\cos .\lambda \int {\frac {z\mathrm {d} x-x\mathrm {d} z}{r^{n+1}}}-\cos .\mu \int {\frac {y\mathrm {d} z-z\mathrm {d} y}{r^{n+1}}}\right),\end{aligned}}$

et en faisant

${\frac {y\mathrm {d} z-z\mathrm {d} y}{r^{n+1}}}=\mathrm {A} ,\quad {\frac {z\mathrm {d} x-x\mathrm {d} z}{r^{n+1}}}=\mathrm {B} ,\quad {\frac {x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x}{r^{n+1}}}=\mathrm {C} ,$

il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&{\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\mathrm {\left(C\cos .\mu -B\cos .\nu \right)} ,\\\mathrm {Y} =&{\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\mathrm {\left(A\cos .\nu -C\cos .\lambda \right)} ,\\\mathrm {Z} =&{\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\mathrm {\left(B\cos .\lambda -A\cos .\mu \right)} .\end{aligned}}$

En multipliant la première de ces équations par $\mathrm {A} ,$ la seconde par $\mathrm {B}$ et la troisième par $\mathrm {C} ,$ on trouve $\mathrm {AX+BY+CZ} =0\,;$ et si l’on conçoit par l’origine une droite $\mathrm {A'E}$ qui fasse avec les axes des angles dont les eosinus soient respectivement

$\mathrm {{\frac {A}{D}}=\cos .\xi _{1},\qquad {\frac {B}{D}}=\cos .\eta _{1},\qquad {\frac {C}{D}}=\cos .\zeta _{1},}$

en supposant, pour abréger,