sons pour plus de simplicité que le circuit fermé
soit dans le même plan que le fil conducteur
et cherchons l’action exercée par un élément quelconque
de ce dernier. Pour cela tirons du milieu
de cet élément des rayons vecteurs à tous ces points du circuit, et cherchons l’action perpendiculaire à
exercée par cet élément sur le circuit.
La composante perpendiculaire à
de l’action exercée par
sur un élément
s’obtiendra en multipliant l’expression de cette action par
elle sera donc, en observant que
![{\displaystyle ii'\mathrm {d} s'\sin .\theta 'r^{k}{\frac {\mathrm {d} \left(r^{k}\cos .\theta '\right)}{\mathrm {d} s}}\mathrm {d} s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d9c15adfa95845f92cbed203eb6c6ff502cb7b)
ou
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\operatorname {tang} .\theta '{\frac {\mathrm {d} \left(r^{2k}\cos .^{2}\theta '\right)}{\mathrm {d} s}}\mathrm {d} s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0408f50470416986f9c14743612c50e3f12b3c)
expression qui doit être intégrée dans toute l’étendue du circuit. L’intégration par parties donnera
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\left(r^{2k}\sin .\theta '\cos .\theta '-\int r^{2k}\mathrm {d} \theta '\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323a9bbc558928a905ff11b8256921b40bf80073)
Le premier terme s’évanouissant aux limites, il reste seulement
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\int r^{2k}\mathrm {d} \theta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443948b07932f3012b019922797786cf8b45d563)
Considérant maintenant les deux éléments
compris entre les deux mêmes rayons consécutifs,
est le même de part et d’autre, mais doit être pris avee un signe contraire, en sorte qu’en faisant
on a pour l’action réunie des deux éléments
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}ii'\mathrm {d} s'\left[\int \left(r'^{2k}-r^{2k}\right)\mathrm {d} \theta '\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250a8873b6c7b924477cc04cfde624a0c1483fec)