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ainsi

$\cos .\theta ={\frac {dr}{ds}},\qquad \cos .\theta '=-{\frac {dr}{ds'}}.$

Pour avoir la valeur de $\cos .\varepsilon ,$ nous observerons que

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}},\quad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}},\quad {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}},\quad {\text{et}}\quad {\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} s'}},\quad {\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} s'}},\quad {\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} s'}}$

sont les cosinus des angles que $\mathrm {d} s$ et $\mathrm {d} s',$ forment avec les trois axes, et nous en conclurons

$\cos .\varepsilon ={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} s'}}+{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} s'}}+{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} s'}}.$

Or, en différentiant par rapport à $s'$ l’équation précédente qui donne $r{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}},$ on trouve

$r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}=-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} s'}}=-\cos .\varepsilon .$

Si l’on substitue, dans la formule qui représente l’action mutuelle des deux éléments $\mathrm {d} s,\mathrm {d} s',$ au lieu de $\cos .\theta ,\cos .\theta ',\cos .\varepsilon ,$ les valeurs que nous venons d’obtenir, cette formule deviendra, en remplaçant $1+h$ par son égal $k,$

$-{\frac {ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{n}}}\left(r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+k{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}\right),$

qu’on peut mettre sous la forme

$-{\frac {ii'\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{n}}}.{\frac {1}{r^{k-1}}}.{\frac {\mathrm {d} \left(r^{k}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}\right)}{\mathrm {d} s'}},$

ou enfin

$ii'r^{1-n-k}{\frac {\mathrm {d} \left(r^{k}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}\right)}{\mathrm {d} s'}}\mathrm {d} s\mathrm {d} s'.$