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celles de $\mathrm {d} s',$ exercerait sur chacun des éléments de la petite courbe que nous avons déja substituée à \mathrm{d}s, et par conséquent sur cette petite courbe elle-même. Ainsi la formule que nous avons trouvée exprime qu’un élément curviligne quelconque produit le même effet que la portion infiniment petite de courant rectiligne terminée aux mêmes extrémités, quelles que soient d’ailleurs les valeurs des constantes $n$ et $h.$

L’expérience par laquelle on constate ce résultat ne peut donc servir en rien à déterminer ces constantes. Nous aurons alors recours aux deux autres cas d’équilibre dont nous avons déja parlé. Mais auparavant nous transformerons l’expression précédente de l’action de deux éléments de courants voltaïques, en y introduisant les différentielles partielles de la distance de ces deux éléments.

Soient $x,y,z$ les coordonnées du premier point, et $x',y',z'$ celles du second, il viendra

$\cos .\theta ={\frac {x-x'}{r}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}+{\frac {y-y'}{r}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}+{\frac {z-z'}{r}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}},$

$\cos .\theta '={\frac {x-x'}{r}}{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} s}}+{\frac {y-y'}{r}}{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} s}}+{\frac {z-z'}{r}}{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} s}},$

mais on a

$r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2},$

d’où, en prenant successivement les coefficients différentiels partiels par rapport à $s$ et $s',$

$r{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}=(x-x'){\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}+(y-y'){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}+(z-z'){\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}},$

$r{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}=(x-x'){\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} s'}}+(y-y'){\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} s'}}+(z-z'){\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} s'}},$