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quelconque de courbe terminé aux mêmes extrémités, pourvu qué toutes les dimensions de ce polygone ou de cette courbe soient infiniment petites.

Soient, en effet, $\mathrm {d} s_{1},\mathrm {d} s_{2},\ldots \mathrm {d} s_{m},$ les différents côtés du polygone infiniment petit substitué à $\mathrm {d} s\,;$ la direction $\mathrm {AA'}$ pourra toujours être considérée comme celle des lignes qui joignent les milieux respectifs de ces côtés avec $\mathrm {A} '.$

Soient $\theta _{1},\theta _{2},\ldots \theta _{m},$ les angles qu’ils font respectivement avec $\mathrm {AA'} \,;$ et $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \varepsilon _{m}$ ceux qu’ils font avec $\mathrm {M} 'm',$ en désignant, suivant l’usage, par $\sum$ une somme de termes de même forme, la somme des actions des côtés $\mathrm {d} s_{1},\mathrm {d} s_{2},\ldots \mathrm {d} s_{m}$ sur $\mathrm {d} s',$ sera

${\frac {ii'\mathrm {d} s'}{r^{n}}}\left(\sum ds_{1}\cos .\varepsilon _{1}+h\cos .\theta '\sum \mathrm {d} s_{1}\cos .\theta _{1}\right)$

Or $\sum \mathrm {d} s_{1}\cos .\varepsilon _{1}$ est la projection du contour polygonal sur la direction de $\mathrm {d} s',$ et est par conséquent égal à la projection de $\mathrm {d} s$ sur la même direction, c’est-à-dire à $\mathrm {d} s\cos .\varepsilon \,;$ de même $\sum \mathrm {d} s_{1}\cos .\theta _{1},$ est égal à la projection de $\mathrm {d} s$ sur $\mathrm {AA} '$ qui est $\mathrm {d} s\cos .\theta \,;$ l’action exercée sur $\mathrm {d} s'$ par le contour polygonal terminé aux extrémités de $\mathrm {d} s$ a donc pour expression

${\frac {ii'\mathrm {d} s'}{r^{n}}}(\mathrm {d} s\cos .\varepsilon +hds\cos .\theta \cos .\theta ')$

et est la même que celle de $\mathrm {d} s$ sur $\mathrm {d} s.$

Cette conséquence étant indépendante du nombre des côtés $\mathrm {d} s_{1},\mathrm {d} s_{2},\ldots$ $\mathrm {d} s_{m},$ aura lieu pour un arc infiniment petit d’une courbe quelconque.

On prouverait semblablement que l’action de $\mathrm {d} s'$ sur $\mathrm {d} s,$ peut être remplacée par celle qu’une courbe infiniment petite quelconque, dont les extrémités seraient les mêmes que