Il est facile de voir que ce sera aussi l’expression du terme qui précède
du même intervalle
La somme de la série
sera donc à très-peu-près
![{\displaystyle p.\int dt.c^{-{\frac {{\overline {i+2r}}.t^{2}}{2r.{\overline {i+r}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3838629678e63d886877f6068822b9a1dd730d5)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
ce qui donne cette somme égale à
![{\displaystyle p.{\sqrt {2\pi }}.{\sqrt {\frac {r.{\overline {i+r}}}{i+2r}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff2edf6dc4e1c3c660861b413e9f2e409eec857)
Si dans l’expression précédente de
on substitue au lien du produit
![{\displaystyle 1.2.3\ldots r.{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}\ldots {\overline {i+r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2234886de9bd0a56ce109b48177c692354475e)
sa valeur très-rapprochée
![{\displaystyle {\frac {\left(r.{\overline {i+r}}\right)^{r}.(i+r)^{i}.2\pi .c^{-i-2r}.{\sqrt {r.{\overline {i+r}}}}}{1.2.3\ldots i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b26ef0ddb51fefd239333e16a69f8048a2c7249)
on aura
![{\displaystyle p={\frac {1.2.3\ldots i.(i+2r).c^{i+2r}}{2\pi .{\sqrt {r.{\overline {i+r}}}}(i+r)^{i}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bac7ac35c95599450607da5f30144c8e8e62eaf)
ce qui en observant que
est égal à
et que
est égal à
![{\displaystyle {\frac {i.{\sqrt {1+e^{2}}}+i}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6811a0aac56f8c13791c94d45e0f9e6fdc09f8f3)
donne pour la somme de la série ![{\displaystyle (m),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c40bbd4e0ddc31a8a0d8fa2b3d6f31e92e4353d)
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots i.\left(1+e^{2}\right)^{\frac {1}{4}}.2^{i}.c^{i{\sqrt {1+e^{2}}}}.{\sqrt {i}}}{{\sqrt {2\pi }}.i^{i}.\left({\sqrt {1+e^{2}}}+1\right)^{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3381d04b526b7a0596b93e35c77047a760ec79b)
En changeant
dans
dans cette expression, on aura