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l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}}$

donne

${\frac {ddv}{dt^{2}}}=-{\frac {2.{\sqrt {1-e^{2}}}}{\mathrm {R} ^{3}}}.{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}.$

Au périhélie et à l’aphélie, ${\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$ est nul : ${\frac {d\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{3}}}dt$ est positif, en allant du premier de ces points au second, et négatif, du second au premier. Soit $k$ sa plus grande valeur positive ; $-k$ sera sa plus grande valeur négative. En supposant donc que les valeurs de $\sin .it$ soient positives et égales à l’unité, depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie, et négatives et égales à $-1,$ depuis l’aphélie jusqu’au périhélie ; on ,voit que l’intégrale $\int dt.\sin .it.{\frac {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}{\mathrm {R} ^{3}}}$ prise depuis la périhélie jusqu’à l’aphélie, sera moindre, abstraction faite du signe, que $2k\pi .$ De là il suit que $a^{(i)},$ abstraction faite du signe, est moindre que

${\frac {4\pi .k.{\sqrt {1-e^{2}}}}{i^{2}}}.$

Ce terme devient nul, lorsque $i$ est infini. De plus, la série de l’expression précédente de $v,$ à partir de $i$ supposé très-grand, est moindre que

${\frac {4\pi .k.{\sqrt {1-e^{2}}}}{i}}\,;$

quantité qui devient nulle, lorsque $i$ est infini. Cette série est donc convergente.

Considérons de la même manière l’expression de $\mathrm {R}$ développée dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de $t$ et de ses multiples. Soit